发现被叫上黑板的人不是自己，班杰明稍稍有些遗憾。
这道题他其实已经有了思路。
不过他很快转头看向讲台上的李傲，他也想看看，李傲会怎么处理这道题。
座位上，麦可往凯文那边倾了倾身子，瞥了一眼对方草稿纸上写了一半的推导过程，压低声音问：“怎么样，你有思路了没？”
“有了一点，还在推。”凯文摇摇头，视线转向讲台，“不过以李傲的数论水平，这题应该难不住他。”
黑板前，李傲拿著粉笔，从头扫了一遍题目条件。
几秒钟的功夫，几种解法已经在脑海里过了个大概。
他没在意背后的窃窃私语，直接抬手落笔。
“先令 u=a^(p-1)。题设等价於 u=1+p^2c。在 p进数中取对数，可得 v_p(log u)≥2……”
粉笔在黑板上敲出轻响。他直接越过了繁杂的同余展开，写下结论：
“因此，u^(p^(n-1))-1至少含有因子 p^(n+1)。也就是说，a^(p^(n-1)(p-1))≡1 mod p^(n+1)。”
“如果把指数中的 p^(n-1)缩小，並取 c不能被 p整除的情况，赋值会下降一阶，结论就不再成立。”
这就是数论中的 p进数理论——直接用高等数学的標准工具来降维处理竞赛题。
写完最后一行，李傲转过身：
“写完了。”
教室里安静了片刻。
除了卡尔森教授，底下的几个队员基本只看懂了前半段的同余条件，到了 p进对数那几行，就看不明白了。
班杰明盯著黑板上的推导，眉头微微皱起。
虽然看不太懂，但凭他的数学直觉，也知道这个思路绕开了大段繁琐的同余展开，比他自己想到的方法简练得多。
“这是什么方法……居然绕开了繁琐的同余展开，比我的做法省了太多步骤。”
他正琢磨著，讲台旁的卡尔森教授开了口。
卡尔森其实有些意外。
他原以为这道题能难住李傲，藉机敲打一下这个上课走神的学员，没料到对方不仅证得轻鬆，用的还是 p进数理论。
毕竟怎么看，这都不像是一个高中竞赛生该掌握的知识。
“这孩子以前系统学过代数数论？”卡尔森暗自思忖。
他轻咳了两声掩饰意外，隨即收起隨意的神色，向眾人强调起 imo解题工具的边界：
“leo，你这套证明逻辑上確实没问题。但是，用p进数理论解题不符合 imo的规范。在正赛里，像 p进数、群论这种超纲的高数工具是被禁用的。如果你在考场上这么写，一分也拿不到。”
对於接触过高等数学的学生来说，遇到难题的第一反应往往是直接调用合理的工具，而不是去思考技巧。
就像中学生做小学奥数题，总会下意识地列方程一样。
但 imo毕竟不是大学期末考试，参赛者必须用初等数学的方法把问题讲透。
李傲听罢，停下正要走下讲台的脚步，点点头：“这样啊。”
说完，他没怎么迟疑，当即转过身，在黑板的另一侧写起初等解法。
“设 a^(p-1)=1+p^2t。那么 a^(p^(n-1)(p-1))就等於(1+p^2t)^(p^(n-1))……”
粉笔字写得飞快。
作二项展开后，常数项之后的第一项正好是 1+p^(n+1)t，后面的各项都含有更高次的 p，因此模 p^(n+1)仍然余 1。
同理，如果指数里少一个 p，且 t本身不能被 p整除，那么第一个非平凡项只能到 p^n，结论就未必成立。
这套初等解法写下来，耗时比刚才也长不了多少。
卡尔森教授迅速检查了一遍。
確认没有任何漏洞后，他愣了一下。
他完全没想到，李傲不仅会用代数数论的方法，换回初等方法后依旧写得这么干净利落。
能在短时间內用两种截然不同的思路解同一道题，说明这学生对数论的理解非常扎实。
据卡尔森所知，哪怕是一些高年级本科生，也很难迅速做到这一步。
“怪不得他不怎么听课。”
他心里有了底，紧接著又想起一件事，顺口问李傲：“你系统学过代数数论？”
他这么猜並不奇怪。
一个高中生能熟练写出 p进数证明，多半是提前上过高等数论课。
毕竟国家队中，每年学有余力提前接触高等数学的竞赛生不在少数。
李傲放下粉笔，如实回答：“没系统学过，只是了解过 p进数这套理论。”
说完，他走下讲台，回到了座位。
能进美国 imo国家队，会的东西多一些自然正常。
可连 p进数这种大学高年级甚至研究生阶段才会接触的工具都能用，那天赋就多少有些离谱了。
单靠每天学上十几二十个小时，恐怕也未必能堆出来。
麦可和丹尼尔还是第一次看到李傲完整展示解题过程。
两人对视了一眼，都从对方眼里看到了惊讶。
“太强了，不愧是 leo。”
凯文则更直接，李傲刚坐下，他就竖起了大拇指。
旁边的班杰明忍不住问：“leo，你不会是一边学常微分方程，一边还在自学代数数论吧？”
“那倒没有。”李傲摇头。
还没等班杰明鬆口气，李傲又隨口补了一句：“p进数理论是前几天在一场学术报告上偶然听到的，觉得有点意思，就找了些文献翻了翻。”
听见这个回答，班杰明一下子被噎住了。
他原以为自己才是这届国家队里最有天赋的那个，但现在看著李傲，他忽然觉得自己之前的骄傲有些站不住脚。
明明刚来夏令营的时候，被人称作数学天才的还是他。
可现在跟李傲一比，怎么自己反倒显得很平庸了？
麦可昨天见识过李傲的水平，此时反而容易接受得多。
他看著李傲感嘆了一句：“你是真厉害，以后有不懂的题还得向你请教。”
国家队就六个人，大家每天都在一起集训。
队伍里有这种水平的队员，他也能受益良多，而且对整个团队衝击 imo总分第一肯定是件好事。
讲台上的卡尔森听完李傲的话，也有些发怔。
直到李傲回到座位坐下，他才回过神来。
最终，暗自下了决心：
“不行，得把这孩子挖到普林斯顿来。”
他几乎已经能想像，如果其他教练们知道国家队里有这样一个天赋惊人的高中生，一定会想尽办法挖人。
普林斯顿数学系固然名声在外，但和 mit、斯坦福这些强校相比，也没有什么优势。
先下手为强，才是正理。
班杰明则久久没有开口，只是看著黑板上的字跡发呆。
从夏令营摸底考试开始，他就一直把李傲看作最重要的竞爭对手，想在正式集训和 imo正赛上，重新找回属於金牌选手的优势。
可现在无论怎么看，两人之间的差距，好像反而越来越明显了。
而坐在另一边的娜塔莉婭，在后半节课里也时不时看向李傲的位置。
她那双深邃的蓝眼睛里，浮起了难以遮掩的好奇。
她有些想不通。
刚进夏令营时，还没觉得李傲这么突出，怎么才过了不到一个暑假，他就强到了这种地步。
……
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