第三十章 ：数竞训练！（第二更求追读月票）

    ps：大佬们，今天周二了，又是评推荐的关键日子，求追读！求追读！求追读！重要的事情说三遍，感恩！
    五月，巴陵的天气已经热得不像话了。
    教室天花板上的吊扇转得嗡嗡作响，吹出来的风带著一股子热浪混著粉笔灰的味道，闷得让人昏昏欲睡。
    韩川的座位靠窗，稍微好一点，距离他同时报名数竞和物竞已经过了半个多月的时间。
    这半个月，他的生活就像是生日蛋糕一样，被切割成一块一块的，数学老师一块，物理老师一块，葛军一块，周培源一块......
    晚自习的铃声响起，韩川拿著书，朝教学楼对面的实验楼走去。
    一三五的时间归数学，二四六归物理。
    今天正好是周三，他得去实验楼跟著尖子班那些参加竞赛的学霸们一起上课培训竞赛相关的难题。
    实验楼的二楼，数竞班的教室中，已经有十几个学生提前到了，这会正坐在自己的位置上安静地看著书。
    韩川找到自己的位置坐下，从书包中摸出来一本竞赛专用的教材看了起来。
    过了一小会，负责带他们的数竞教练龚勤握著保温杯走了进来。
    他没有说话，也没有上课，而是直接拾起粉笔在教室的小黑板上写下了两道题目。
    写完，龚勤將手里的粉笔头往讲台上一扔，拍了拍手上的粉笔灰，扫视了一圈教室里的学生，语气平淡得像在说今天食堂吃什么。
    “今天的训练，两道数论竞赛题。”
    “限时一节晚自习，能做出来的第二节晚自习自由活动。做不出来的，第二节继续做！”
    这是他的教学风格，和其他的竞赛老师喜欢讲课不同，他更倾向於让学生自己理解。
    有奖有惩，能做出来就可以自由活动，做不出来就继续坐板凳。
    教室中，听到龚勤的话，参与竞赛的学生中响起一阵轻微的骚动，所有人抬头看向了黑板。
    韩川也一样，抬头看向黑板上的两道题。
    一、求证：对於任意正整数n，存在一个n的倍数，其所有数字均为0或1。
    二、证明：对任意正整数 n，总存在一个 n的倍数，其十进位表示中每一位数字都是奇数（即只包含 1， 3， 5， 7， 9中的数字）。
    看了一遍题目，韩川先拾起笔，將黑板上的题目抄到了笔记本上，然后才开始思索。
    这两道题目都是数论题，而数论是竞赛数学里最不讲道理的分支之一。
    它不像几何那样可以靠辅助线打开局面，也不像代数那样有固定的公式可以套。数论靠的是数感、是灵感、是对数字结构那种近乎神秘的洞察力。
    有时候一道题卡住了，不是因为知识不够，而是因为你没有站在正確的角度去看它。
    韩川先看向了第一问。
    【求证对於任意正整数n，存在一个n的倍数，其所有数字均为0或1。】
    盯著它看了一会，韩川脑海中的第一反应是直接寻找一个由0和1组成的数，並让它被 n整除。
    但下一刻，他就迅速將这个解题思路排除了。
    因为 n是任意正整数，没有规律可循。
    这种基础版的凑数和构造倍数，除非他能有一台超算，否则靠纯算寻找答案的思路很显然行不通。
    “有意思，这个命题看起来平平无奇，但实际上难度还不小的样子。”
    看著题目，韩川念叨了一句，眼中带上了感兴趣和兴奋的神色。
    经过这些天的学习，他现在愈发喜欢用已有的知识挑战自己的极限了。
    若是能解开以前做不到的难题，那么收穫就像是直接注射了內啡肽一样快乐。
    思索著，他重新阅读了一遍题目。
    如果构造倍数行不通，那么將它和同余掛鉤起来行吗？
    想著，他捏著笔迅速在洁白的稿纸上写下了一行算式。
    【考虑序列ak=11...1{k个1}其中 k=1，2，…，n+1，这 n+1个数模n的余数只可能取0，1…，n?1。】
    【由鸽巢原理，存在两个不同的下標 i<j使得a i≡a j(mod n).】
    【计算差aj-a i=....】
    看著稿纸上的算式，韩川思索著。
    如果一个数要同时是n的倍数，並且所有数字都是0或1，那么它可以写成若干个10的冪次之和的形式。
    但这里的问题转化为：能否在10的冪次中找到若干个数，它们的和恰好被n整除。
    “10的冪次模n的余数...”
    这个短语在他脑子里一闪，像一根火柴划亮了一片黑暗让他幡然醒悟了过来。
    拾笔，落笔。
    一行行的算式快速地在稿纸上写下。
    “如果考虑数列10^1， 10^2， 10^3……一直到10^(n+1)，这n+1个数分別模n取余数。”
    “而模n的余数只有n种可能——0到n-1。n+1个数放进n个盒子里，根据鸽巢原理，至少有两个数的余数相同。”
    “將 n+1个全1数模 n的余数作为物体，余数的可能取值（0，1，…，n?1）作为抽屉，再对其进行整除性处理，就可以了。”
    很快，答案就计算了出来。
    由於 gcd(n，10)=1，n与 10 ^i互质，因此nir。而 r的每一位都是 1，故 r即为所求的 n的倍数！
    “搞定！”
    笔锋落下，韩川咧嘴笑了笑。
    这题还真是有迷惑性，核心难度在於构造一个辅助数列。
    如果用一般的构造倍数法来解题，他就算是解上一个晚上也算不出来。
    但如果先构造辅助数列，再將『存在性』问题转化为『重复余数』问题，就很容易证明了！
    解决了第一题，韩川迅速看向第二题。
    【证明：对任意正整数 n，总存在一个 n的倍数，其十进位表示中每一位数字都是奇数（即只包含 1， 3， 5， 7， 9中的数字）。】
    这道题与“仅由 0和 1组成”的结论类似，但限制为全奇数数字。
    韩川尝试用鸽巢原理解答了一下，但很快就遇到了困难。
    因为两个形如 111…1的数之差会產生末尾的 0，而 0是偶数。
    很显然，相比第一题，这道题目的难度上升了不止一星半点。
    他隱隱约约感觉到，第二题的思路跟第一题应该有某种对称性。
    如果说第一题用的是10的冪次，第二题可能需要用到某种变形。
    思索著，他在心里把这个命题拆开、重组、从不同的角度去尝试。
    然后....然后他就卡住了。
    看著稿纸上乱七八糟的算式，韩川有些头疼地揉了揉太阳穴。
    他感觉做出来了一半，能感觉到答案就在前面不远的地方，但中间隔著一层薄雾，他看不清路。
    就在这时，他带过来放在桌角的数学教材微微亮了一下，一行字跡浮现了出来。
    是葛军的，笔锋锐利如刀。
    “你可真是个狗脑子，都想到了10的冪次可以构造全0的数，为什么就不会转弯！”
    “蠢！”
    很显然看著韩川被第二题卡住这么久，课本中的书灵葛大爷开始耐不住了，浮现出一行字跡『教育』他。
    .....