第25章 寻找递推数列

    “这……”
    伊莎贝尔反覆检验了几遍自己的操作，发现確实没错，一时洁白细嫩的麵皮微微抽搐了几下，有些鬱闷：
    “m59和m67，居然真的都是合数，而不是素数。”
    自己信心满满確定的两个重要候选数字，居然都是错的，这让伊莎贝尔一阵尷尬。
    但隨后，她螓首一扭，望向身侧的罗伦，心里又不禁有些庆幸。
    还好罗伦及时指出了m59和m67是合数，不然单凭自己硬算，不知要算多久，才能確定这两个数不是素数。
    少则两三个月，多则接下来的半年时间全都会浪费在这两个数上。
    伊莎贝尔深呼吸了一口气，语气复杂地说：
    “罗伦，我果然没有看错你，你一上来就给了我一个大惊喜啊，好，这很好，只是……你究竟是怎么发现这两个数並非素数的？”
    “偶然的灵感，以及直觉，我也解释不清，反正忽然就注意到了。”
    这事儿没法详细解释，罗伦一如既往是进行模糊化处理。
    数学天才嘛，直觉很强不是很合理吗？
    伊莎贝尔一阵无言，也没法反驳，因为这种事情確实可能存在，甚至很多时候，数学的进步，都来自於偶然的灵感。
    她想了想，说道：“既然你能忽然注意到m59和m67不是素数，那你能忽然注意到哪两个数是新的m素数吗？”
    罗伦迟疑了下：“教授您给我一点时间，我或许就能。”
    见他竟是这等回答，结合对方是个数学天才，不能以常理度之，伊莎贝尔一时竟是信了七八分。
    她轻捋耳鬢金髮，那张洁白无瑕的面庞上，带了一丝好奇之色：“罗伦，你对寻找和判断m素数，是不是有什么不一样的思路？”
    罗伦点了点头，又摇头：“有一些想法，但还不成熟，教授您给我点时间，让我好好琢磨下，等有了结果，我再向您匯报。”
    还真有不一样的思路？
    伊莎贝尔听闻此言，碧绿色的眸子微凝，语气陡然变得严肃起来：
    “好，那接下来，你按照你自己的节奏来研究这个课题，我就不给你布置任务了，免得打乱你的思绪，嗯，给你三个月时间，如果三个月后没出结果，再跟著我的节奏来，如何？”
    “一切如您所言。”
    嗅著身侧伊莎贝尔传来的好闻馨香，罗伦靠在椅背上，微闭著眼睛，意识默默勾连上了前世资料库。
    伊莎贝尔见状，也没打搅他，起身回到了自己常坐的位置，將丰腴的臀儿陷进柔软的坐垫中，白嫩的面颊上神情恢復冷淡与端庄，捏著笔按照她自己的节奏，在一张纸上写画起来。
    对於m素数，罗伦前世並没有深入研究过，虽然他知道的m素数远不止十个，但光知道没用，能写出来也没用。
    得证明那些数是真正的素数才行。
    低位数的m素数还好说，但高位数的m素数，那就非常叫人头疼了。
    比如伊莎贝尔想要寻找的第十位完美数，所应对的m素数为m89，但这玩意儿足有27位数，为618970019642690137449562111。
    要证明它是素数，那计算量可不是一般的大。
    若用试除法，根据公式(√m89)/ln(√m89)，单是检验不超过其平方根的素数的个数，就高达八千多亿个。
    完全是指数级的复杂度。
    这显然是笔算不可能完成的任务。
    不过，天无绝人之路。
    罗伦通过勾连前世资料库，在里面逐帧检索了一阵相关信息，发现確实有一种检验法，可以快速检验高位数的m素数。
    ——卢卡斯-莱默检验法。
    其核心算法是构造一个递推数列去模mp，当某一项模mp的余数归零时，就能確定mp是m素数。
    但那个递推数列的公式，罗伦的前世资料库里根本没有，他就只知道些相关的文字描述。
    所以，得先想办法將那个递推数列找出来。
    “卢卡斯-莱默检验法，递推数列，唔，这就是解决的方向了……”
    罗伦睁开了眼睛。
    搞研究，尤其是搞数学研究，最怕的就是没方向，
    现在有了方向，那就好办了……即便罗伦还不知道检验法的具体形式是什么，但只要瞄准这个方向去研究，肯定是能出结果的。
    无非是下一番苦功夫罢了。
    ……
    转眼，时间过去了十几日，进入了十二月。
    期间，爱德华磨磨蹭蹭了好一阵，终於来到了166號院，而他也总算完成一次异变，踏足了异变期。
    一瞧罗伦正在研究完美数与m素数的课题，他也跟著加入了进来。
    罗伦见他想跟著自己一起研究，便也不客气，直接给他分配了列举各类递推数列的任务，而罗伦则从他列举的递推数列之中，寻找有用的线索。
    还真別说，这种做法確实有用。
    十二月六號，罗伦结合低位m素数的数值，以及爱德华列举的一种平方递推数列，发现了一丝端倪。
    十二月九號，罗伦从一连串乱码与算式之中，將思路基本理清，初步確定了递推数列的形式，以及基本的判定条件。
    ……
    166號院主楼，学习室內。
    此刻，伊莎贝尔有事外出了，並不在，室內只有罗伦与爱德华二人。
    当爱德华拿过罗伦书写的几张稿纸，仔细瞧看，並进行了一番验算之后，顿时目瞪口呆，惊讶得下巴都快掉了下来：
    “臥槽臥槽，不是吧，罗伦，你你你，你这就已经把检验法確定了？！”
    “不算。”罗伦摇了摇头，说道：“目前只是计算了m2、m3、m5、m7、m13、m17等六个已知的m素数，还有m19、m31这两个已知m素数没验算。”
    爱德华兴奋道：“虽然只验算了六个，但按照归纳法，加上m素数的特殊性，样本也够了啊。”
    罗伦说：“还是得全部验算完，不能马虎，嗯，验算m19、m31这两个数的工作，就交给你来做了，没问题吧？”
    爱德华搓了搓手，重重点头，跃跃欲试：“没问题，你休息吧，交给我！”
    话音落下，他也不废话，径直拿过纸笔埋头便开始了验算。
    罗伦见状，倒是没休息，反而捏著笔，眼睛盯住检验法的內容，开始思索起了如何才能严谨证明它的核心判定条件正確，將之升级为m素数的判定定理。
    说起来，该检验法的內容，其实非常简单。
    用几十个字就足以概括：
    [定义一个递推数列sp，其中s0=4，递推规则为从s0开始，每一步都用它的平方减2来计算下一项，並在此过程中模mp，当倒数第二项余数为零，mp即为素数。]
    这个检验法的妙处在於，在计算高位数的mp时，通过对数列值进行取模运算，可以极大地简化操作，將数列值牢牢限制在mp的平方之內，令其无法发散。
    並且，只需递推p-2次，即可完成对一个m数的检验。
    这复杂度与计算量，比之试除法根本就不在一个量级，不超过o(p^3)，乃是多项式级別，而非指数级別，计算量的增长十分缓慢。
    就拿m89来说，试除法至少要试除八千多亿次。
    但这种检验法却只需递推87次，实际步骤为87次平方操作，87次减2操作，87次模m89操作。
    关於四则运算的操作次数加起来，总共连三百次都不到。
    不到三百次，即可抵得上八千多亿次……
    该检验法的优越性与强大性，已经不言而喻了。
    不过，强大归强大，可在没有將其核心判定条件，升级为判定定理之前，在数学上便存在著漏洞。
    所以，接下来证明该检验法的正確性，才是真正的挑战。
    还好的是，这个挑战对罗伦而言，反倒不存在太大的阻碍。
    如果说之前寻找检验法的具体形式，是在湖泊里捞针，那么现在寻找关於该检验法的证法，就是在一堆沙子里找出本就存在的金子，难度等级骤降。
    以他的数学功底，儘管不知道实际的证法內容，但哪怕是通过强行拼凑，也能把证法拼个七七八八出来。
    当然，他不需要强行拼凑。
    对於这种级別的定理证明，他只看一眼，脑海中就有了大致的证明思路。