第65章 我的大脑已经宕机了

    其他人或许没法跟上陈末的节奏，又因为前面的过程已经被擦掉，到后面更是完全看不懂陈末在写什么。
    但郑明阳能够看懂，已经研究这个证明好几天，本身也是这个领域专家的他，当然能够看懂陈末的证明。
    但正因为能够看懂，当看到陈末一步步推导，即將毕竟那个最终答案时，郑明阳心中也开始翻江倒海。
    他本以为陈末只是运气好，碰巧写出了一个形式。
    没想到这个高一学生当场就给出了一个完整的、严密的证明，而且证明思路极其巧妙，用模2q的高斯和来提升指数，再利用奇偶拆分和对偶性，將未知的和与已知的高斯和联繫起来。
    他做了二十年解析数论，高斯和的理论烂熟於心，但从未想过用这种升模技巧来估计线性指数和。
    这个技巧虽然简单，但需要极强的数论直觉和对特徵结构的深刻理解。
    陈末写得飞快，嘴里念念有词。
    副校长赵振中悄悄凑到周知耳边：“老周，他说的特徵是什么？是性格特徵吗？”
    周知嘴角抽搐了一下：“赵校，是dirichlet特徵……一种数论函数。”
    “哦。”
    赵振中点点头，然后又问，“那模2q是什么意思？”
    周知沉默了两秒，选择说实话：“老赵，要不您先別问了，等回去我再给您解释。”
    赵振中识趣地闭上了嘴。
    另一边，姜帆正在手机上疯狂搜索高斯和。
    然而，搜索结果让他更加迷茫，维基百科上的公式比他想像中的还复杂。
    胡鑫倒是相对镇定，因为他早就放弃了理解。
    他在想的是，这个学生还是我班上的那个陈末吗？
    他想到了陈末每节课下课问他的问题，再看看眼前的白板，“所以，我何德何能，能给这种妖孽解答问题？”
    “所以t=ψ(2)s+ψ(2)s{共軛}。”
    “这是一个实数，因为它是共軛对称的。”
    “而|t|=√2q是已知的，因为ψ是二次特徵，高斯和的模长是根號下模数。”
    “设ψ(2)=±1，那么t=±(s+s{共軛})或者t=±(s?s{共軛})，取决於具体符號。”
    “但不管哪种情况，都有isi=iti/2?某个因子……”
    陈末快速计算，最后在白板上写下，
    isi=√q！
    办公室里安静了三秒钟。
    然后，郑明阳猛地站了起来。
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    “这……”他的声音有些颤抖。
    虽然在看到陈末进入状態后，他就有所预料，但当陈末真的给出了完整的证明后，他还是有些不敢相信自己的眼睛。
    怔怔的盯著白板看了好久，郑明阳才回过头来看向陈末，“你是怎么想到用2q的？”
    陈末也没想到最后自己竟然真的证明了出来，就像当时他给白芷讲题一样，一开始只是有个思路，但隨著一步步推导，结论就像是水到渠成一般出来了。
    数学，好像也没那么难嘛！
    “因为e^{πik/q}=e^{2πik/(2q)}，所以我想把问题转化成模2q的高斯和，然后我发现，模2q的二次特徵可以分解……”
    “不，我不是问这个。”郑明阳打断了他，“我是问，你怎么想到奇偶拆分之后，奇数项和偶数项会互为共軛？这个对称性，我做了二十年数论，从来没有从这个角度想过。”
    陈末想了想，说：“其实就是……把求和区间[1，2q]映射到自身，用k?2q?k这个变换，这个变换把奇数变成奇数，偶数变成偶数，而且把指数变成共軛。
    然后我注意到，ψ(2q?k)=ψ(?k)=ψ(?1)ψ(k)。只要ψ(?1)=1，就能让奇数项和偶数项完美配对。”
    “就这么简单？”郑明阳的声音有些发涩。
    “就这么简单。”陈末点头，“只是……要选对ψ的构造，让ψ(?1)=1。”
    郑明阳缓缓坐回椅子上，目光呆滯地看著白板。
    他想起自己这两天两夜的挣扎，翻阅了几十篇文献，尝试了围道积分、poisson求和、l函数的渐近展开……每一种方法都让他陷入更深的泥潭。
    而这个高一学生，用一个初等数论中的对称性技巧，在几十分钟內就给出了一个乾净利落的证明。
    不是因为这个证明有多难，而是因为它太简单了。
    简单到让人想不通，为什么我没能想到？
    郑明阳闭上眼睛，脑海中反覆回放著陈末的推导过程。
    那个变换k?2q?k，他见过无数次。
    在证明二次互反律的时候，在分析高斯和的性质的时候，这个变换无处不在。
    但他从来没有想过，把它用在升模上。
    把模q的问题提升到模2q，利用更大的空间来容纳对称性，然后通过奇偶拆分把未知量和已知量联繫起来。
    这是一种降维打击，不是把复杂问题简单化，而是把简单问题放在一个更大的框架里，让对称性自己显现出来。
    “天才……”郑明阳喃喃自语。
    他睁开眼，看向陈末，郑重地说，“陈末同学，你这个证明，足够发一篇短论文了。”
    陈末一愣：“啊？”
    他忽然想到了网友的建议，当时他还觉得自己离发论文还有很远的距离呢，没想到，这么快就要完成了吗？
    “我是认真的。”郑明阳站起来，走到白板前，指著那行isi=√q，“这个结果本身並不新，高斯和理论早就知道。
    但你这个证明方法，这个升模配对称的技巧，是新的，它很漂亮，非常漂亮！”
    会议室另一边，眾人陷入了集体茫然中。
    赵振中已经在看手錶了。
    不是因为不耐烦，而是因为他需要確认自己是不是在做梦。
    白板上的符號对他来说就像天书，但他从郑教授的反应中读出了一件事，这个学生很厉害。
    这就够了！
    作为副校长，他只需要知道这个结果。
    周知的表情很复杂。
    作为数学竞赛教练，他学过一些初等数论，能看懂陈末写的部分符號。
    高斯和他知道，共軛他也懂……
    但是那个奇偶拆分之后的共軛配对，他完全没跟上，他只能假装在思考，实际上大脑已经宕机了。
    姜帆是物理老师，数论对他来说就是另一个星球的语言。
    但他有一个优点，不懂就承认。
    此刻他正拿著手机，悄悄给周知发微信：“老周，他在说什么？”
    周知看了一眼手机，都懒得回復。
    胡鑫此刻的心情最为复杂。
    他想起两个月前，陈末在课堂上连函数都搞不清楚。
    现在，这个学生正在给一位大学教授讲解数论的前沿技巧。
    我是谁？我在哪？我在做什么？这三个问题在他脑海中循环播放。