第二十一章：两种解法！

    听到韩川说会一点点，方剑宇眼中闪过一丝讶异，递过了一支粉笔。
    韩川顺手接过粉笔，在黑板上书写了起来。
    他没有按照常规的解法步骤先建立微分方程，而是在那个巨大的三维坐標系旁边，重新开闢了一块空白区域。
    【在电磁场中，带电粒子的哈密顿量为h =(1/(2m))*(p - qa)2+ qφ+ mgz。】
    【选取合適的规范。对於沿 z轴的匀强磁场 b，可取对称规范：
    a =(-by/2， bx/2， 0)。】
    【而电场 e沿-z方向，取电势φ=-ez。进一步將重力势能 mgz与电势能 qφ合併：v(z)= mgz - qez =(mg - qe)z = 4qez。】
    【哈密顿量写为：h =(1/(2m))*[(px + qby/2)2+(py - qbx/2)2+ pz2]+ 4qez。】
    【....在一个周期內，pz与速度 vz的关係为 pz = m * vz。小球在上下反弹点间速度由 v(z)决定。利用恆定加速度运动学，可以求得：jz =(2√(2m)/(3π))* 4qe *(Δz/2)^(3/2)...】
    ....
    讲台上，韩川沿著哈密顿系统，先写出系统的哈密顿量，然后拆解变量与作用量一步步的推导著。
    教室中鸦雀无声一片寂静，大部分的同学都愣愣的看著台上的韩川不知道他在写些什么。
    唯有坐在前排的那么一两个提前自学过部分大学內容和选修书籍，或者是尝试参加过物理竞赛的学霸盯著台上皱著眉头思索著。
    当然，这再正常不过了。
    毕竟哈密顿量不是高中物理课程的常规学习內容，並不在高中生必修的知识中。
    利用哈密顿量来解这种题目，是周培源老先生最近才教他的。
    而在韩川不断书写著解题步骤的时候，讲台上，方剑宇愣愣的看著黑板上的算式眼中满是惊诧和不敢置信。
    这道题对於一个普通的高中生来说是严重超纲的。
    本来他喊韩川上来解题，只是想看看这个被曹稳称讚的学生，在真正的难题面前会如何反应。
    是胡写一通，还是直接放弃？
    老实说他根本就没想过韩川能解答出来。
    但现在，这个学生不仅在解答，而且用的居然还是普通高中生不会学的哈密顿量来进行解题。
    这怎么可能！？
    一个上上次月考才51分，哪怕上次月考进步很快也才91分的学生，居然能解出来一道足够放到竞赛省赛上的大题？
    不是，这学习天赋，这么恐怖的吗？！
    讲台上，韩川还在继续，黑板上的算式已经写得密密麻麻的一大片了。
    【.....经过量纲匹配和代入已知条件 mg=5qe以及 qb = m√(g/r)，可以將上述变分方程简化为：(4qe *Δz)=(qb)2/(2m)* r2，这与解法一中的核心比例式完全等价。】
    【.....最后代入数据后解得：Δz = r/2，t = 2π√(r/g)。】
    【.....】
    一张黑板，小半边是物理老师方剑宇写的题目，而另外大半边则是韩川完成的答案。
    得到了最终答案后，他並没有第一时间向方剑宇匯报，而是捏著粉笔头退后了两步，看了一下自己的解题成果。
    “方老师。”
    教室中鸦雀无声，韩川轻喊了一声愣在一旁的方剑宇。
    回过神来，方剑宇看了一眼黑板上的答案，眼中和脸上满是藏不住的激动和高兴，一时间竟不知道该说什么。
    黑板上那密密麻麻的哈密顿量、正则动量、磁矢势、作用量-角变量、绝热不变量.....
    这道竞赛题，別说高二的学生，就是他这个物理老师，也不是一眼就能看出答案的，得用稿纸推导一下才行。
    而眼前这个学生，这个两个月前物理才考51分的学生，就这么云淡风轻地写出来了。
    “好好好！”
    念叨了一句后，他深吸了口气，看向韩川，开口问道：“这道题的常规解法哈密顿量是大学物理系才会学习的內容，你学过大学的內容？”
    放下粉笔，韩川想了想，简单地回答：“学过一些，这道题用高中力学解太麻烦了。”
    “小球在磁场里被洛伦兹力偏转，加上边界的弹性碰撞，轨跡会非常复杂，而且每次碰撞后方向都不同。”
    “但如果把它放进哈密顿框架里，把系统写成一个整体，再去找系统的守恆量和绝热不变量，就不会被中间那些乱七八糟的轨跡干扰了。”
    “周....呃，我自学的教材上讲过，对於这种带电磁场和边界约束的动力学问题，分析力学比矢量力学好用很多。”
    听到这，方剑宇脸上露出了惊诧的神色，他追问道：“也就是说，你还能用其他的方法解这道题？”
    韩川露出一个略带靦腆的笑容，道：“其实我觉得还有另一种更简单的方法。”
    “嗯？”
    这一次方剑宇是真的惊讶到了：“更简单的方法？不用哈密顿量？”
    韩川点了点头，道：“可以不用。”
    停顿了一下，他转身接著在黑板上空白的区域上书写了起来。
    “这个题如果用分析力学来处理，虽然严谨，但过程太长。”
    “而它要求的是最终的稳定振幅和周期，那么看这一点，其实可以换一个更直接的思路的。”
    “也就是不去追踪粒子在磁场里怎么拐弯，怎么碰撞，只看它最终进入的那个稳定运动状態。”
    “因为在能量关係里，洛伦兹力只负责改变运动方向，不改变动能大小。驱动小球在竖直方向往返的核心，是重力与电场力的合力。”
    “而竖直方向的合力是mg - qe，代入题目给的mg = 5qe，得到fz = 4qe，方向向下。这个力在整个运动过程中是恆定的。”
    “也就是驱动功率∝(4qe·Δz)/ t，磁约束功率∝[(qb)2/ m]· r2/ t。”
    “然后两者在稳定状態时相等，t消去，可以得到4qe·Δz = c·(qb)2/ m· r2.....”
    一边在黑板上书写著算式，韩川一边简单的介绍了一下自己的解题思路。
    粉笔在黑板上发出清脆的嗒嗒声，相对比之前使用哈密顿量解题的步骤来说，这一种方法的解题步骤几乎只有不到三分之一。
    寥寥数行，韩川就已经计算出来了周期t就是磁场中的迴旋周期：【t = 2πm/(qb)= 2π√(r/g)】
    ......
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