第三十一章：葛大爷的第一次夸讚！(二合一求追读！)

    “蠢！”
    看著教材上浮现出来的字跡，韩川扯了扯嘴角，没敢反驳。
    他捏著笔重新看向题目。
    葛大爷的话向来都很犀利，虽然不会直接给他解答，但线索往往都隱藏在其中。看似骂他笨，实则是在点醒他，让他跳出固有的解题思维。
    想著，韩川的脑海中驀然浮现出了一个念头。
    “如果说10的冪次可以构造全0和1的数，那么什么样的构造能產生全是奇数的数？”
    当脑海中的想法浮现出来时，就如同破土的竹笋一般，瞬间在他脑海中扎根。
    他拿起笔，在笔记本上写下一行行试探性的数据。
    10的冪次模20的余数是有规律的——10^1≡ 10 (mod 20)，而10^2≡ 0 (mod 20)，后面全是0。
    这说明单靠10的冪次是不够的。
    但如果换成11的冪次呢？
    思索著，韩川又在笔记本上写下了一行数据，11^1≡ 11 (mod 20)，11^2≡ 1 (mod 20)
    不......不对.....方向偏了。
    不是20，应该是模某个能让每一位保持奇数的数。
    脑海中的思绪转动著，驀的，韩川忽然想起了周培源给他讲电磁学时提到的一个概念：分离变量法。
    分离变量法的核心思路是把一个复杂的偏微分方程拆成几个独立的常微分方程，分別求解然后再组合起来。
    简单地来说，就是用虚线把一个矩阵切成一条条横线和竖线，然后再建立正確的坐標系將它们分开，每一根线只负责一个方向的变化，互不干扰。
    坐標系、分离、独立分量……
    韩川呆呆地看著稿纸上的算式，眼神渐渐失焦，大脑却陷入了一种沉浸式的思考状態。
    思绪如同高速运转的齿轮，飞速碰撞、交织，將分离变量法的思维与眼前的数论题紧紧联繫在一起。
    也不知道过去了多久的时间，眼前稿纸上的算式和题目忽然跳动了起来。
    那些字符渐渐在他眼中构建出了一个完整清晰的物理图景。
    这一次，他看见的似乎不再是单纯的数学画面，更像是一个数学物理结合的图景。
    知识具现化的技能再度浮现，在他眼前，一个物理图景信號被分解成若干个独立的频率分量，每个分量都在自己的频率上振动，互不干扰。
    而这个信號的整体，正是这些分量的线性叠加。
    它们每一个都是十进位数字、每一位都独立、每一条都呈现出线性叠加....
    如果放到物理的框架里看，就相当於要求一个信號的每一个频率分量都必须满足某种振幅条件。
    现在的韩川还不懂这是什么，但他看到了。
    看到了如何构造一个n的倍数，看到了要求这个信號的整体满足一个边界的条件。
    这跟他在物竞课上做的那个分离变量法本质上是一回事。
    知识具现化的技巧，將眼前的题目拆成了一个数学物理互相结合的图像，然后再在每个分量上单独满足约束。
    最后再组合起来。
    .....
    银蓝色的微光褪去，所有立体的、动態的物理图景像退潮一样消失。
    韩川猛然回过神来，他拿起笔在草稿纸上重新开始推导。
    这一次，他走的不是数学中的標准数论路线，而是自己开闢的一条新的方向。
    他准备用数学物理结合的技巧，来解决这个问题！
    当然，严格的来说，这道数论题不能用物理方法去解。
    但物理思维可以帮他找到数学的切入点！
    他需要的不是把物理公式搬过来，而是把“分离变量”这种思维方式带进解题思路中。
    把他在思维具象化中看到的『每一位都是奇数”这个条件拆成『每一位独立满足某个模条件』，然后组合起来。
    找到切入点，利用中国剩余定理，將n分解为2^a和奇数部分m的乘积，分別在模2^a和模m的条件下构造满足条件的数，再用中国剩余定理合併。
    在模m的部分，他构造了一个全由奇数数字组成的周期序列；在模2^a的部分，他利用了一个巧妙的归纳构造。
    笔尖在纸面上飞速划动，留下一行行工整而密集的推导。
    整个过程不到十五分钟，一页草稿纸被写满了一大半的区域。
    当他写下最后一个符號的时候，韩川自己都没有意识到自己在做什么。
    直到，数学教材上葛军的字跡再度浮现了出来。
    这一次，没有骂人，也没有毒舌，反而带著一丝沉默和惊讶的意味。
    “这个解法......是你自己想出来的？”
    韩川想了下，道：“算不上吧，周老先生之前和我讲物理的时候，跟我讲物理的时候提到过分离变量法，就是把一个复杂系统拆成多个独立自由度分別求解再组合。”
    “刚才做题的时候，我脑子里面忽然闪过这个概念，就觉得……这道题好像也能这么看。”
    “然后就尝试了一下，没想到真给解出来了。”
    葛军的字跡沉默了。沉默的时间比以往任何一次都长。
    长到韩川差点以为自己用物理的思维解数学题是不是有什么不对，准备开口解释一句的时候，字跡才重新浮了出来。
    “这道题的標准解法是构造一个全由奇数组成的周期列然后直接验证，过程可以用数学归纳法写得更简洁。”
    “但你创造了一条新的路线，至少我没有了解过。”
    “你把一个物理概念移植到数论构造题里，用物理思维找到了数学的切入点。”
    “这道题....”
    “你做得比標准解法更接近它的数学本质，甚至可能出题者都从未想过还有这种解题方法。”
    说到这，字跡停了一下，然后以一种比之前更重的笔锋缓缓浮现：
    “从我开始教你到现在，这是你第一次，在一道题的解法上走到了我的前面，想到了一条全新的道路。”
    “你做数论题，居然用上了物理里的分离变量法思维，这我是真没想到的。”
    “这道题，你解得很好！”
    韩川盯著这行字看了好一会儿，脸上的笑容都快翘起来了。
    葛大帝居然夸他了？！
    臥槽！真不容易。
    这可是两个多月来葛军第一次表扬他，这感觉，就像是.....
    感动没超过三秒，甚至他还没想出合適的比喻，教材上葛军的字跡又弹了出来，笔锋重新恢復了那熟悉的凌厉。
    “收收味，笑得跟个傻子样。我夸你是因为你確实做到了，不要因为这两句评价就得意忘形！”
    “分离变量法解这道题虽然巧妙，但你的构造过程里有一组冗余假设。若n含有平方因子，其中有一组独立解的构造是过剩的，原因在於你第二步合併时漏判了互质性。”
    “把这个冗余分析给我补上，补不出来，以后我上数学课，你给我站著听！”
    韩川看著这行字，嘴角的弧度怎么都按不下去：“o得k，没问题，包在我身上！”
    回復了一句，他重新看向了稿纸上算式，开始琢磨著按照葛军的指点查漏补缺。
    教材中，感应著韩川的认真，书灵葛军的脸上露出了一抹笑容。
    这小子，天赋还真不赖！
    刚刚那道题，如果用数学的標准解法来解题，至少要写上两页的过程，但他只用了大半页就完成了。
    全部推导过程简洁无比，每一步都直指要害，没有任何多余的计算。
    当然，在构造解析中漏判了互质性的问题另说。但这种结合了数学物理的方法，確实很巧妙，也是他从未想过的解题思路。
    想著，书灵葛军陷入了沉思。
    如果他还能参与高考出题的话，说不定可以结合这种思路试试。
    结合物理的数学题，难是难了点，但高考的压轴题，不就是用来拉开差距判断学生的思维逻辑和天赋的嘛。
    ......
    与此同时，另一边。
    苏省，金陵。
    全封闭的教育考试院中，一群从苏省各地召集而来的数学老师和数学教授这会正聚集在一间会议室中。
    会议室很大，长长的实木桌上铺著深绿色的绒布，窗帘拉得严严实实。
    桌边坐著十几个人，每人面前都摊著一叠厚厚的试卷初稿。
    这里是2009年苏省高考数学卷的命题封闭点，自命题工作启动以来已经封闭了將近两个月。
    按照惯例，五月中旬是定稿的关键窗口时间。
    高考考试的初稿、试做测试、集体研磨及层层审核，最终確定a卷（正式卷）和b卷（备用卷）都需要在最迟5月25日前完成。
    而今天，已经是5月20號了。
    再有四五天的时间，今年苏省的高考试卷就將开始保密印刷保存，然后在高考前武装押运送往各个考点。
    办公室的长条桌的另一头，受邀参加今年高考命题的葛军面前摊著一叠列印出来的初稿。
    他已经盯著这份初稿看了將近一个小时，签字笔夹在在指间，没有动。
    其他命题组成员偶尔交换几句低语，翻动纸张，在稿纸边缘写写划划，然后递交给组长签字。
    没有人注意到葛军的异常——他本来就不爱说话，审稿的时候更是沉默得像一尊石像。
    但只有葛军自己知道，他不是在沉默，而是在困惑。
    从今天上午开始，他的脑子里就像有什么东西被撬开了一条缝。
    起初只是一个模糊的念头，就像是灵感在远处闪了一下，他试图抓住它，但它躲开了。
    但当然继续审题的时候，那种感觉却越来越清晰，越来越具体。
    到现在，出现在他脑海中的已经不是灵感的碎片，而是一整套完整的、严密的题目构思。
    是的，今天出现在他脑子里面的，就是一道数学题的出题思路。
    他拿起笔，在稿纸上快速写下那道题的雏形，推导过程流畅得像是已经演算过无数遍。
    写完之后，他放下笔，盯著稿纸上的算式。
    这是一道关於数列极限和概率论交叉的综合题，借用物理中的运动、振动、能量等概念作为数学建模的背景。
    同时还创造性地把多物体、多过程、运动的合成与分解、极值问题等与数学工具结合，构成了一道极其巧妙的大题。
    这道题如果用传统的数学方法，也就是特徵函数和特徵值分布的结合来求解的话，难度极高。
    但是葛军脑海中却莫名浮现出了另一种解法，那就是结合高中物理中的简谐振动来解题。
    思索著，葛军重新拾起笔，找了张空白的a4纸在上面写下了两种完全不同的解题过程。
    第一种是传统的数学解题思路，用特徵函数和特徵值分布的结合求解。
    解题过程占据了大半张稿纸。
    而另一种解题思路则是通过简谐振动叠加后位移的极值来计算。
    思路很巧妙，解法也很优美，可以说只要一步切入正確，整个解题过程就会像一把刀切进黄油里面轻鬆写意。
    但葛军盯著面前的题目和解题步骤看了很久。
    久到他自己都开始有些怀疑自己了。
    因为这道题和他以往出题风格中的任何一个方向都完全不同，它更跳跃，更大胆。
    同时还在某个关键步骤上甚至隱约绕开了他惯用的严谨推进方式，直接从另一个角度抓住了问题的核心。
    但它的数学內核又严谨得无懈可击，难度极高的同时又能挑战学生的极限。
    老实说，他从来都没想过数学大题还能这么出。
    但它就是出现了。
    这让葛军很是诧异。
    就像是有人把他从来没有尝试过的一种解题思路直接灌进了他的大脑里一样。
    “这道题，或许可以放进试卷里。”
    看著面前的试题，葛军脑海中忽然浮现了一个想法，他想把这道题放到今年的高考试卷里面去！
    正在这时，另一个端著保温杯的出题组老师走了过来，打量了一下葛军面前的稿纸，看到上面的数学题后有些好奇地问道。
    “葛老师，今年的题目不是都確认好了吗？”
    “你怎么还在出题？”
    听到这话，周围几个命题组成员感兴趣的凑了过来。
    其中一个人看了两眼稿纸上的题目，眉毛顿时就挑了起来。
    “葛老师，这道题....难度有点大吧？”