第28章 高等数学,第一阶段闭环

    制度这种东西,写在纸上的时候,总是显得格外可靠。
    江临一开始甚至有一种错觉。
    好像只要把时间表写出来,那份被他从网上扒下来的北大物理学院本科生培养计划,就已经被他完成了一小半。
    当然,他心里也清楚,自己不可能真正復刻北大课堂。
    没有老师,没有习题课,没有同学討论,也没有实验室。
    他能拿到的,只是公开培养方案,几十套能下载到的教材电子版,不成体系的公开课视频,以及一堆不知道讲得好坏的网课资源。
    所谓照著北大物理系走,本质上只是给自己找一条足够高,足够硬,足够不会骗自己的路標。
    人总是这样。
    制定计划的时候,仿佛自己已经完成了计划。
    把六点起床写到纸上,就好像明天早上六点真的不会赖床。
    把高等数学写到上午八点,就好像那本四百二十八页的教材已经自动变薄了一点。
    把復盘与时间胶囊写到晚上七点,就好像未来的三十岁、四十岁、六十岁的自己,已经站在远处向他点头。
    可第二天早上六点,废土用一种极其朴素的方式,把江临从这种错觉里拽了出来。
    他没有听见闹钟。
    不是闹钟坏了。
    是他在闹钟响起之前,就被冷醒了。
    石屋无论怎么糊,都总是会漏风。
    夜里的风顺著不知道哪里的缝隙钻进来,像一把一把细小的銼刀,銼著他的头和脸。
    江临睁开眼的时候,屋里黑得像一口井。
    他躺在睡袋里,第一反应不是起床,而是想把脑袋重新缩回去。
    太冷了,身体根本不想动。
    手指从睡袋里伸出去的一瞬间,就像伸进了一盆冰水里。
    如果是在现实世界,今天大概可以赖五分钟。
    五分钟之后再五分钟。
    反正有老妈在厨房里做早饭,有老刘在学校里巡班,有早读铃在楼道里一遍遍催命。
    可是废土没有这些。
    废土只会安静地看著他烂掉。
    江临在黑暗里睁著眼,盯著什么也看不清的石屋顶棚,足足躺了三分钟。
    然后他骂了一句很低的脏话,咬著牙从睡袋里钻了出来。
    这天早晨,他没有像计划表上写的那样六点整开始农田维护。
    他是六点二十七分才走到田边的。
    风从乾涸河床方向吹过来,带著酸雨后留下的矿物味。
    土豆叶片上蒙了一层泥尘,黄豆苗也有些发蔫,南瓜藤缩在田埂边,像几条冻僵了的蛇。
    江临蹲下去,用手指摸了摸土壤表层。
    硬,冰凉。
    像一块还没彻底醒过来的旧铁。
    他拿起小铲子,一铲一铲把排水沟边缘被风吹回去的土重新清出来,又检查了几处用石片压住的防风网。
    等他回到石屋时,天边才露出大片暗红色的光。
    时间已经是七点五十二。
    距离上午八点的高等数学,只剩八分钟。
    江临站在门口,看了看自己满是泥尘的手,又看了看墙上的作息表。
    这一刻,他第一次明白,制度不是写给热血沸腾的时候看的。
    制度是写给不想动,不想学,不想活得那么用力的时候看的。
    所以他没有改时间表,没有给自己找藉口。
    他只是把泥手洗乾净,喝了一口温水,坐到石桌前,翻开教材。
    当然,真正顶尖大学的物理系不会把数学基础理解得这么简单。
    数学分析、线性代数、解析几何、常微分方程,哪一样都不是轻轻鬆鬆能跨过去的门槛。
    可他现在连站稳都困难。
    对一个普通高中出身,没有老师,只能靠电子版教材和公开视频自学的人来说,《高等数学》不是终点,而是他能摸到的第一根扶手。
    第一个上午,他只看了两页。
    其中一页还是上一章已经看过的函数极限定义。
    他拿出概念本,在极限那一页的后面新开了一栏。
    【数列极限:往后走,找n。】
    【函数极限:往里收,找δ。】
    【共同点:別人给误差,我给控制。】
    【区別:一个控制序號,一个控制距离。】
    写完这几行,他又补了一句。
    【不要因为它们长得像,就以为自己懂。】
    第二十三日,江临被导数重新按回地表。
    高中阶段,导数他学过。
    求导公式背过,单调性做过,切线方程也写过。
    在高考题里,导数是武器,是压轴题里那把最锋利也最嚇人的刀。
    可是大学教材里的导数,跟他记忆里那把刀不太一样。
    不是一上来就让你求某个函数的最大值,也不是让你证明某个不等式。
    它先问你一个更冷的问题。
    什么叫某一点处的变化率?
    什么叫局部线性逼近?
    什么叫在足够小的邻域里,一条曲线可以被一条直线近似替代?
    局部,线性,逼近。
    每个字他都认识。
    连在一起,他又不认识了。
    这天上午,江临在石桌前坐了四个小时,只做了一件事。
    画切线。
    他在纸上画曲线。
    画得很难看。
    有的像弯曲的藤蔓,有的像废土上被风啃出来的沙脊,有的像水坑边缘那道不规则的裂纹。
    然后他在曲线上选点。
    一点一点画切线。
    同一个函数,不同位置,切线方向不同。
    同一个点附近,把曲线放大,再放大,再放大,它似乎真的越来越像一条直线。
    画到后来,手写板上到处都是歪歪斜斜的线,像一片被风暴吹倒的枯树林。
    他会算答案。
    至少照著例题,他能算出答案。
    可他不敢说自己懂。
    下午巡田的时候,江临没有立刻回屋看普通物理。
    他站在田埂边,看著温度计上的数字一点点升高。
    早上六点,十一度。
    上午八点,十四度。
    十点,二十度。
    正午,二十六度。
    太阳一点点爬高,废土表面的温度也一点点变化。
    以前他记录这些数字,只是为了判断什么时候浇水,什么时候加盖防风膜,什么时候避开最强的光照。
    那天,他盯著那串温度,忽然意识到一件事。
    温度本身不是导数。
    温度变化的快慢,才是。
    同样从十一度升到十四度,如果用两个小时,那是一种变化。
    如果用二十分钟,那就是另一种变化。
    同样是从石屋走到水坑,走得慢,脚下的泥土一点点变湿。
    走得快,潮气和酸味几乎是迎面砸过来。
    位置不是重点,位置如何变化,才是重点。
    江临站在田边,风吹得嘴唇发乾。
    他忽然转身跑回石屋,在草稿纸上写下。
    【导数不是位置】
    【导数是变化的速度】
    写完,他看了两秒,又觉得不够。
    於是下面补了一行。
    【导数不是我现在在哪里,而是我正在怎样离开这里。】
    他后来才意识到,普通物理里所谓速度、加速度,其实早就站在这里等他。
    位置对时间的变化率是速度,速度对时间的变化率是加速度。
    高中时他背过这些话,可直到这一天,他才第一次觉得,那些公式不是印在书上的结论,而是从变化里长出来的骨头。
    那天晚上的时间胶囊里,他写下第一条真正难看的记录。
    【会求导,不等於懂导数,不要骗自己。】
    第五十二日,他开始学积分。
    这一次,江临没有再犯同样的错误。
    他没有一上来就背公式。
    也没有急著去看那些带著长长根號和三角函数的例题。
    他先走到农田边,把一块地分成许多窄窄的条。
    每一条都不完全规则。
    有的宽一点,有的窄一点,有的边缘被风蚀啃掉了一块,有的地方因为石头太多,根本不能算有效耕地。
    如果用一个长方形去估,误差太大。
    如果切成十块,准一点。
    切成一百块,更准一点。
    如果切到最后,每一小块都小到几乎可以看成规则形状,再把它们全部加起来呢?
    他甚至用捲尺量过几垄地的宽度,把不规则边缘粗暴地切成一段一段,再用近似梯形去估。
    算出来的数字当然不准。
    田埂不是標准曲线,风蚀缺口也不会老老实实长成教材里的图形。
    可那一刻他忽然明白,积分从来不是因为世界规则才有用,恰恰是因为世界不规则,人类才需要这种笨办法。
    江临蹲在田边,拿著一根枯枝,在地上画了一上午。
    画到最后,他看著那些密密麻麻的小条,忽然笑了。
    积分不是神秘符號。
    积分是承认世界不规则,然后用足够多足够小的规则碎片,把它重新拼起来。
    那天以后,石屋墙上多了一句话。
    【微分是拆开。】
    【积分是合上。】
    江临盯著这句话看了一会儿,觉得它太漂亮了。
    漂亮到像是在骗自己。
    於是又在下面补了一句。
    【拆得足够细,合得才足够准。】
    第七十九日,他第一次用积分的想法估算太阳能板一天的有效发电量。
    清晨,功率很低。
    上午,功率升高。
    正午,达到峰值。
    下午,隨著太阳偏斜,一点点落下去。
    以前他只看蓄电池最后多了多少电。
    今天多了百分之十七,明天多了百分之二十一,后天阴天,只多了百分之六。
    这些数字对生存很重要。
    但它们只是结果。
    现在,他开始画曲线。
    横轴是时间。
    纵轴是功率。
    清晨那一段贴著底,像一条刚醒来的蛇。
    上午慢慢抬头。
    正午鼓起一个不太规整的峰。
    下午又一点点塌下去。
    曲线下面那块不规则的面积,就是这一天真正落进蓄电池里的电。
    他没有真正的功率记录仪,只能每半小时看一次控制器上的瞬时功率,再把这些点连成一条粗糙的折线。
    清晨六点半一次,七点一次,七点半一次。
    每两个相邻时间点之间,他都用一个梯形去估。
    底是半小时,高是前后两个功率读数的平均值。
    一天二十多个梯形加起来,得到的就是一个粗糙到不能再粗糙的发电量估计。
    后来他把这个数和蓄电池电量变化一对,发现误差最大的那几天,往往不是阴天,而是正午太阳太毒,太阳能板过热,实际效率掉得厉害。
    江临画完那张图,盯了很久。
    然后在旁边写。
    【电不是一下子来的。】
    【知识也不是一下子来的。】
    【都是一点一点积出来的。】
    这句话有点矫情。
    他原本想划掉。
    可笔尖悬在纸上停了一会儿,最后还是放下了。
    人在废土待久了,应该允许自己偶尔矫情一把。
    第一百三十六日,江临被级数打崩了一次。
    那天风很大。
    石屋门缝里灌进来的沙尘,把草稿纸边缘染成暗红色。
    江临盯著教材上的无穷级数,看了整整两个小时,脑子里只剩下一个念头。
    为什么已经有了极限,有了导数,有了积分,还要再来一个无穷求和?
    无穷这两个字本身就让人烦躁。
    它不像一块田,翻完就是翻完。
    也不像一顿饭,吃完就是吃完。
    它像废土的地平线。
    你走过去,它还在那里。
    你再走,它还在那里。
    你以为自己已经靠近了终点,可终点只是换了一个位置继续看著你。
    那一天,他没有完成计划。
    上午四个小时,他只看懂了两页。
    下午物理也没学进去。
    力学第一章写著质点运动,可他看著那些速度,加速度,位移公式,只觉得它们像一堆在纸上爬行的虫子。
    晚上復盘时,他盯著教材看了很久。
    按照原计划,他应该写今天的收穫。
    部分和,收敛与发散,比较判別法,比值判別法,根值判別法,交错级数判別法。
    只是每一种判別法单独看,他都觉得自己像是懂了。
    可题目一换,他立刻不知道该先伸哪只手。
    有的级数长得像该用比值判別法,算到一半却卡在极限上。
    有的看起来能比较,却找不到那个合適的参照对象。
    有的明明项越来越小,最后却依然可能发散。
    最噁心的是,他不能再像高中那样靠题型直觉硬冲。
    级数不吃这一套。
    於是他什么有用的东西都写不出来。
    最后只写了一句话。
    【今天输了。】
    写完这三个字,他把笔放下,坐在石屋门口,看著天一点点黑下去。
    废土没有人安慰他。
    不会有人说你已经很努力了。
    不会有人说慢慢来。
    也不会有人说你很棒。
    废土只会把风吹进领口,把夜里的冷一点点渗透骨头。
    远处乾涸河床在黑暗里只剩下一道更深的影子。
    田里的土豆叶被风压低,又慢慢抬起来。
    江临坐了很久。
    久到手指冻得有些发木,才重新回到石屋。
    第二天早上六点,他照样起床。
    照样去看土豆苗。
    照样检查水坑边的过滤装置。
    照样把昨天夜里被风吹歪的南瓜藤重新压好。
    照样坐回石桌前。
    他在昨天那句【今天输了】下面,又写了一行。
    【但比赛没有结束。】
    然后重新翻开级数那一章。
    后来,级数没有变简单。
    只是江临渐渐不那么怕它。
    他开始理解,所谓无穷求和,並不等於混乱。
    有些无穷会爆炸,有些无穷会收敛。
    有些东西看起来永远加不完,可它们最终会被关进一个有限的范围里。
    这很像他自己。
    第一次废土,他连一天一夜都撑得狼狈。
    第二次废土,他靠压缩饼乾和水熬到物资耗尽。
    第三次废土,他用九年把两百平方米红土翻成勉强能活的田。
    第四次废土,他坐在石屋里,和一本高等数学死磕。
    他的人生看起来也像一串乱七八糟的项。
    前面混乱,失败,波动,甚至毫无规律。
    可只要还能往后走,就不算发散。
    第二年春天,江临翻开《高等数学(下)》。
    多元函数比他想像中更適合废土。
    因为废土从来不给他单变量问题。
    土豆减產,不一定是缺水。
    可能是酸雨,可能是光照,可能是温度。
    可能是草木灰撒多了,可能是种子退化。
    可能是地下水里的某种矿物浓度突然升高。
    在现实世界的高中题里,题目总是乾净的。
    给你条件,问你答案。
    可废土不是。
    废土把所有变量一起扔到他脸上。
    水分在变,温度在变,土壤在变,种子在变,他自己的体力和判断也在变。
    有时候,他明明按照前一年成功的办法去做,收成却还是差了一截。
    有时候,他只是提前两天排水,某几垄土豆反而活得更好。
    有时候,一场酸雨下来,南瓜叶片边缘焦黄,他以为完了,结果半个月后新叶又重新长出来。
    现实世界从来不是一道单变量题。
    於是江临第一次真正喜欢上了偏导这个东西。
    不是因为它好算,而是因为它诚实。
    它承认世界复杂,也承认人一次只能看清其中一个方向。
    固定其他变量,只看水分变化对產量的影响。
    固定水分,只看土壤酸碱度变化。
    固定酸碱度,只看光照。
    当然,废土不是实验室。
    他不可能真的把其他变量全部固定住。
    没有標准土样,没有重复组,没有精密传感器,甚至连每一场酸雨里的矿物成分都不知道。
    他能做的,只是一种笨拙的田间近似,今年只改浇水频率,其他做法儘量不动,明年只改草木灰用量,再把產量、叶片状態、病斑数量和土壤手感一项项记下来。
    这不是严格实验。
    可对他来说,这已经是从混乱里往外抠规律。
    而且近似是人类面对复杂世界时,给自己爭取到的第一块立足点。
    这天晚上,他在概念本上写。
    【多元函数:承认世界不止一个原因。】
    【偏导:暂时假装其他东西不变,先看清一个方向。】
    【这不是现实的全部,但这是理解现实的第一步。】
    第二年冬天,他第一次学到重积分。
    那天雪下得很小。
    准確地说,也许不能叫雪。
    废土上落下来的东西,介於冰粒和灰尘之间,打在石屋顶上,发出细碎的沙沙声。
    江临坐在屋里,看著教材上那些二重积分,三重积分,脑子里忽然浮现出自己那片农田。
    单积分像沿著一条线走,二重积分像铺开一片地,三重积分像把空间也切成一块一块。
    他忽然觉得数学有一种近乎残忍的野心。
    它不满足於计算一条路,它要计算一片田。
    还要计算一团空气,一块岩石,一个水坑,一整个被变量填满的世界。
    第三年春天,江临学曲线积分和曲面积分。
    那几章他学得极慢。
    慢到他一度怀疑自己是不是又回到了刚接触e-δ的时候。
    路径,方向,通量,环流。
    每一个词都像长了刺。
    他试著用废土理解它们。
    风穿过石屋门口,是一种通量。
    水沿著排水沟流走,是沿路径的积累。
    太阳光落在倾斜的太阳能板上,不只是照到这么简单,还和角度有关。
    有些东西不是看它在某一点有多强,而是看它穿过一整片面,沿著一整条路,累计造成了什么。
    他学得很痛苦。
    但这种痛苦和第一年不一样。
    第一年的痛苦是恐慌,是看不懂,是怀疑自己根本没有资格打开这本书。
    第三年的痛苦更像负重。
    他知道自己走得慢,也知道自己確实在走。
    第三年冬天,石屋的墙已经快贴不下纸。
    概念本写了七册。
    第一册的字跡最大,也最用力,像一个刚拿起武器的人,恨不得每一下都砸出声响。
    第三册开始,字变得稳定。
    第五册之后,废话明显少了。
    到了第七册,他已经很少写我终於懂了。
    他只写。
    【此处仍需回看。】
    【三个月后复查。】
    【可用於普通物理电磁学部分。】
    【和线积分、通量概念有关,暂时埋鉤子。】
    【不要急著宣布胜利。】
    他不再轻易宣布自己懂了。
    这本身或许也是一种进步。
    这几年里,普通物理他並不是一点没碰。
    只是每一次翻开,都会被自己的数学短板逼回来。
    看到速度和加速度,他知道要回去补导数,看到功和能量,他知道要回去补积分,看到电场、磁场、通量,他知道迟早要面对曲线积分和曲面积分。
    只是一次又一次发现,自己过去所谓的会做题,很多时候只是会把公式摆到正確的位置。
    事实上,高等数学也没有被他征服。
    江临后来很討厌征服这个词。
    人怎么可能征服数学?
    他只是被它反覆殴打之后,终於学会了站稳,学会了护住要害,学会了在下一拳打过来的时候,不再只会闭眼。
    第四年夏天,他开始做第二轮。
    第一轮看教材,第二轮做题。
    这一次,痛苦换了一种形式。
    看书时,他可以安慰自己,慢一点没关係,至少在理解。
    做题时,错就是错,算不出来就是算不出来。
    证明写不下去就是写不下去,没有任何余地。
    【误把必要条件当充分条件。】
    【忘记检查定义域。】
    【极限交换条件不满足。】
    【积分换元后上下限没变。】
    【此处属於机械抄例题,没有理解。】
    ……
    第五年秋天,第一场冷风越过乾涸河床,吹进石屋。
    那天清晨,他照常六点起床。
    农田里,土豆叶子被风压低,又慢慢弹起来。
    南瓜藤趴在田埂边,几只乾瘪的南瓜藏在叶片下面。
    黄豆荚已经干了一半,轻轻一碰,就发出细碎的响声。
    江临检查完田地,洗了手,回到石屋。
    《高等数学(上)》和《高等数学(下)》。
    两册的电子版已经被他翻了不知道多少遍。
    笔记堆在石桌下方,用麻绳扎成几摞,像一块块砖。
    他坐下来,翻开最后一章的最后几道复习题。
    没有什么戏剧性的困难,也没有突然出现一道把他卡死三个月的终极大题。
    只是几道综合题。
    极限,偏导,重积分,级数,曲线积分。
    知识点交叉在一起,像几条水流在低洼处匯合。
    江临写得很慢。
    每一步都检查,每一个条件都重新看。
    上午八点开始,十点四十六分,他写下最后一行。
    证明完毕。
    屋外风还在吹,屋內很安静。
    没有欢呼。
    也没有像曾经幻想过的那样,激动到在石屋里来回踱步。
    那一瞬间,他想起第一次看到e时的茫然。
    想起第一次证明1/n趋近於0时,那种寒酸却郑重的成就感。
    想起被导数按在地上摩擦的下午,想起对著积分骂人的那页纸,想起级数那天写下的【今天输了】。
    也想起第二天早上的【但比赛没有结束】。
    原来所谓学完,並不是某一刻突然变得无所不能。
    不是合上书之后,整本书都像清水一样在脑子里流动。
    不是从此所有题一眼看穿,所有概念隨手拈来。
    学完只是意味著,他终於把这片荒原亲自走了一遍。
    哪里有坑,哪里有坡,哪里会迷路,哪里需要回头看,他都留下了脚印。
    有些地方他仍然不熟,有些定理再隔几年可能还会忘。
    有些证明现在能写出来,换个形式照样会卡。
    可这一次,他不再站在门外。
    他终於进来了。
    江临翻开时间胶囊,在最后一页写下。
    【高等数学,第一阶段闭环。】
    写完,他停了很久,又补了一句。
    【不是全部掌握,只是教材主线和第一轮题目终於闭环。】
    笔尖落下的时候,江临笑了起来。
    从今天开始,力学、电磁学、热学……
    那些曾经像远处黑山一样压在天边的东西,终於不再只是黑影。
    他还看不清所有山路,甚至连第一座山真正的高度都还没有量完。
    但他已经有了一双能走山路的脚。
    现实里的大学生也许一年就能学完的內容,被他硬生生拖成了五年。
    这听起来很慢,慢到近乎愚钝。
    可现实里的大学生不需要每天修排水沟,不需要维护太阳能板,不需要在酸雨和冷风里保住两百平方米农田,也不需要独自面对没有人说话的荒原。
    更重要的是,他不是一个天才。
    他只是一个把不会,忘记,误解,重来,全都硬塞进时间里的人。
    下午一点,江临决定重新翻回普通物理的第一页。
    不是从头开始,是回去验尸。
    他要看看,过去五年里,自己到底有多少地方只是会做,而不是真懂。
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