第87章 两种课堂

    二模结束，平台那边，路径走通之后，江临接单子，完成单子即可。
    已经不需要將全部精力都扑在上面，又能抽出时间去江大了。
    好久没见到陆老师和师兄师姐，感觉还挺想念的。
    他骑著骑自行车到物理楼b栋，径直上三楼。
    b304的门半开著。
    孟澈坐在示波器前面，手里捏著一根探针，正在调波形。
    尹航坐在靠窗的位置，面前摊著一本列印出来的论文。
    姚思雨站在白板前，上面写满了密密麻麻的推导，显然正在思考下一步。
    江临进来，孟澈第一个反应过来，他把探针放下，转过身来，脸上带著那种標誌性的八卦表情。
    “好久没见你了，听说你最近在物理学院蹭课？”
    “嗯。”
    两人的动静，终於引起了尹航和姚思雨的注意。
    尹航把论文合上，姚思雨从白板前转过身来，两个人都看著江临，眼神里带著明显的好奇。
    “都蹭了什么课啊，说来听听？”孟澈追问道。
    眼看三人都饶有兴趣的样子，江临想了想，说道：“几门本科的核心课，量子力学，电动力学，理论力学，统计物理等等都有听一点。”
    这话说完，实验室里安静了几秒。
    “这四门属於是江大物理学院本科最难的四门核心课了。”姚思雨嘆道，语气中颇为唏嘘。
    显然当年学这几门课的时候，也不容易。
    “听课的感觉怎么样？”尹航也不禁问道。
    “有些章节，讲得比我以前看过的教材详细一些，”江临斟酌著措辞，“但整体来说，我看过的教材，可能比这些课讲得更深一些。”
    “你说的更深，是指？”孟澈问。
    虽然三人都知道江临的水平很高，但具体怎么高法，还真没具体测试过。
    江临想了想，解释说：“比如赵老师讲wkb近似那一章的时候，主要讲了標准的一维势垒穿透和束缚態的wkb条件，讲了连接公式的推导。但他没讲wkb近似和量子场论的渐近展开之间的关係，也没讲wkb近似在非线性系统下的推广。”
    孟澈与尹航两人一听，同时露出果然如此的神情。
    就是姚思雨的思绪稍微有些复杂。
    她在江大物理学院读了本科，保研到陆知行门下，一路都是第一名。
    虽然知道江临这个高中生小师弟很厉害，水平高到能帮陆导解决问题，但她有时候还是会下意识认为，小师弟只是某一些领域比较突出。
    此刻听小师弟提到的这些东西，她意识到对方的知识广度可能超过了自己
    就在姚思雨碎碎念的时候，陆知行回来了。
    “陆老师。”
    “江临来了。”
    陆知行把文件夹放在桌上，端起桌上那杯不知道什么时候泡的茶，喝了一口。
    坐到自己那张堆满论文和列印件的办公桌前，他朝江临招了招手。
    “江临，听说你最近在物理学院蹭课，听课的感觉怎么样，是不是太简单了？”
    “有一点吧。”
    “既然觉得简单，为什么不去蹭研究生的课？”
    江临愣了一下。
    “我可以介绍你认识几位授课的老师。”
    陆知行翻开文件夹，从里面抽出一张列印好的课程表，上面有三门课被他用红笔圈了出来。
    “量子场论入门，许文清教授，。高等量子力学，孙长青教授。高等电动力学，李华敏教授。”
    他把课程表递给江临，江临接过来，看著上面那些红圈。
    “这三门是研究生阶段的核心课，比本科的核心课高一个层次。孙老师讲高量偏数学结构，李老师的高电以严格著称，许老师的场论入门实际上一点都不入门，深度很大。你可以从这三门开始，听了之后，如果你觉得还是太简单，告诉我。”
    “好。”江临点头，把课程表折好放进口袋。
    “如果觉得不简单，也告诉我。”陆知行补了一句。
    “谢谢老师。”
    “你忙你的去吧，”陆知行最后说，“有什么问题隨时来b304。”
    ……
    4月20日，周三。
    今天是高等量子力学第一次蹭课，时间下午两点到三点半，地点a402教室。
    江临到的时候是一点五十五分。
    a402是一间小教室，比本科上课用的阶梯教室小得多，只能坐二十个人左右。
    桌椅是那种老式的连排木桌，桌面被无数届学生用铅笔和原子笔刻满了公式和涂鸦。
    黑板上还残留著上一节课的字跡，能看出来是群论的內容，写满了su(3)的李代数结构。
    教室里已经有十几个研究生了。
    和本科课堂完全不同，没有人说话，没有人玩手机，大部分人面前摊著笔记本和列印的讲义，有人在低头看书，有人在闭目养神。
    空气里有一种沉静的压力，像是一群人都在准备面对一件已知的困难的事。
    江临走进教室的时候，有几个人抬头看了他一眼，也是一触即分。
    没有人表现出惊讶。
    研究生的圈子里偶尔会出现奇怪的学生。
    可能是其他专业的旁听生，可能是提前修课的本科生，可能是某个教授的访问学生。
    一个看起来年纪小一点的人坐在教室里，不算什么奇怪的事。
    江临选了第二排靠走道的位置坐下。
    这个位置离黑板足够近，能看清每一个细节，同时又不至於在第一排。
    两点整，教室的门被推开。
    孙长青教授走进来。
    大约六十多岁，头髮已经完全白了，梳得很整齐。
    戴一副老式的金边眼镜，镜片很厚，能看出深度近视。
    身上穿的是一件深蓝色的中山装样式的外套，洗得有点发白，但很乾净，领口的扣子扣到最上面一颗。
    他左手拿著一本翻得起了毛边的英文教材，右手端著一个搪瓷茶杯，杯身上印著中国科学院物理研究所几个红字，字已经快磨没了。
    他把教材和茶杯放在讲台上，没有点名，没有寒暄，甚至连同学们好都没说。
    只是看了一眼教室里的学生，目光在江临身上稍稍停了一瞬，然后移开。
    “这堂课继续讲dirac方程。”
    孙教授转身在黑板上写下dirac方程的协变形式，然后开始讲。
    他的讲课风格很特別，不像有些老师那样试图把知识嚼碎了餵给学生，而是像一个老学者在跟同事討论问题。
    很多基础性的推导直接跳过，默认听课的人已经知道。
    dirac矩阵的对易关係，他提了一句就过去了。
    旋量表示的分类，他用粉笔在黑板上画了一个表格，然后继续往下走。
    平面波解的形式，他写了两个公式就开始讲物理意义。
    江临完全跟得上。
    事实上非但跟得上，他还能游刃有余地在心里一一对照自己已有的认知。
    dirac方程的每一个形式，每一种推导路径，每一种物理应用，都和他记忆中的內容精確对应。
    在第两次废土期间，他反覆用过这个方程。
    在等离子体环境下处理相对论性电子时，dirac方程是基础工具。
    在强磁场条件下计算量子態演化时，dirac方程的精確解是他赖以生存的东西。
    孙教授讲的內容，和江临已经烂熟於心的內容几乎完全重合。
    直至四十分钟左右，孙教授在黑板上写下一行標题。
    dirac方程在弯曲时空下的推广。
    孙教授的讲课速度终於慢了下来。
    他似乎知道这是一个难点，是研究生们最容易掉队的地方。
    开始从广义协变性原理出发，一步一步地引入標架场的概念，说明在弯曲时空中，dirac矩阵不再是常数矩阵，而是依赖於时空坐標的场。
    写自旋联络的表达式，推导弯曲时空下的协变导数形式，给出完整的弯曲时空dirac方程。
    江临开始动笔记笔记。
    这是他第一次在研究生课堂上主动记笔记。
    之前那四十分钟，他只是偶尔写几个关键词，大部分时间在听。
    弯曲时空dirac方程涉及到的標架场，自旋联络，洛伦兹联络的分解，是他在废土上研究等离子体物理时几乎没有接触过的领域。
    他在废土上主要关注的是平直时空下的应用物理问题，弯曲时空虽然知道基本概念，但从没有系统地推演过。
    而孙长青讲得很细致。
    他用了一种几何直观的方法来解释標架场的意义。
    在弯曲时空的每一点，你都需要建立一个局域的平直坐標系，標架场就是连接这个局域坐標系和全局坐標系的桥樑。
    dirac旋量在局域坐標系下变换，但它的协变导数需要包含时空弯曲的效应，这个效应就是自旋联络。
    他在笔记本上写——
    【標架场——將全局坐標变换为局域洛伦兹变换】
    【关键：弯曲时空下dirac矩阵满足的是弯曲时空的clifford代数，不是平直时空的】。
    一行一行写下来时，偶尔画一个简图来辅助理解。
    坐在他旁边的研究生，一个戴眼镜的男生，看起来大概二十四五岁，不经意间瞟了一眼江临的笔记，然后愣了一愣。
    江临的笔记根本没有照抄黑板，而是用了自己的语言，重新组织推导的脉络，旁边的批註里写满了对推导步骤的理解和补充。
    “这不就是教授常说的思维转化吗？”眼镜男生咕噥了一句。
    讲台上，孙长青讲完弯曲时空推广的最后一个公式，放下粉笔，拍了拍手上的灰。
    “这一节比较难。”
    这是他一整节课说的第一句不是物理学內容的话。
    “你们回去自己推一遍，看懂和能推出来是两回事。”
    说完，他看了一眼手錶，端起搪瓷茶杯喝了一口。
    茶水显然已经凉透了，但他不在意。
    接著宣布下课。
    有些人围上去问问题。
    江临坐在座位上，把笔记从头到尾又看了一遍，在几个地方用红色的笔做了標记。
    这些是他觉得还需要进一步查文献的地方。
    晚上，他在笔记本上补充了一个小节。
    【弯曲时空dirac方程——標架场方法——与平直时空的关键区別在於自旋联络项——这一项在弱场极限下退化为旋量-引力相互作用项】。
    写完这些，他在电脑上打开一本广义相对论教材，开始核对孙教授课堂上提到的几个关键概念。
    这是他第六次归来期间，第一次在课堂上真正学到新东西。
    ……
    翌日，江临要蹭的课是高等电动力学。
    按照陆老师课前的介绍，李华敏是江大物理学院最严厉的教授之一，研究方向是经典电动力学和辐射理论，在这个领域发过好几篇prl。
    他在课堂上出了名的严格，经常会因为一个公式的细节问题和研究生当场爭论，据说有学生被他问到在讲台上站了十分钟说不出话来。
    但他对有深度的学生，非常欣赏。
    九点整，李华敏推门进来。
    他大约五十岁，身形偏瘦，脊背挺得很直，走路的步伐很快。
    穿一件深棕色的西装外套，里面的衬衫扣子扣到最上面一颗，没有打领带。
    戴一副无框眼镜，镜片后面的眼睛不大，但目光很锐利，扫过教室的时候像是在做某种快速的评估。
    他把手里的一叠讲义和一本教材放在讲台上，没有看任何人就直接开口。
    “今天讲辐射理论的高阶展开。”
    没有任何寒暄，没有开场白，甚至没有上节课我们讲到了哪里。
    他默认所有人都已经准备好了，默认所有人都已经预习过今天的內容。
    李华敏的节奏比孙长青更快，信息密度更大。
    他不讲解基础概念。
    多极展开，李纳-维谢尔势，辐射场的近区远区分解……
    这些他认为研究生应该已经烂熟於心。
    直接从辐射场张量的高阶修正讲起，在黑板上写下一个又一个张量表达式，粉笔撞击黑板的声音又快又密。
    江临跟得很紧。
    电动力学是他在废土上用得最多的领域之一，等离子体环境中的电磁场计算是他的老本行。
    李华敏讲的內容他大部分都熟悉。
    但他注意到李华敏在某些地方的处理方法很特別，和其他教材上的標准推导不同。
    比如在处理加速电荷的非线性辐射修正时，李华敏用了协变形式的直接展开法，而不是通常教材里用的分量展开法，这使得推导过程简洁了很多，同时对张量运算的熟练度要求更高。
    大约一个小时后，李华敏停下来，在黑板上写下一道题。
    【题目：考虑一个加速电荷在均匀磁场中的辐射，证明其辐射的偏振状態在高阶近似下出现新的分量。】
    写完，他转过身，推了推眼镜。
    “十分钟。”他说。
    教室里响起一片翻纸的声音。
    研究生们埋头开始做题，有人皱眉，有人咬著笔头，有人在小声和旁边的人討论。
    均匀磁场中加速电荷的辐射，这是一个標准的电动力学习题，大部分人都能做出基本解。
    辐射场的主分量对应电荷加速度方向，偏振状態由加速度矢量和观测方向的几何关係决定。
    但李教授问的是高阶近似下出现的新分量。
    江临看了一眼题目，大约两秒钟就想到了关键。
    標准方法处理这个问题，会把辐射场展开为加速度的各阶时间导数，然后取最低阶非零项，得到主分量。
    但李教授问的是高阶近似下的情况。
    这意味著需要考虑辐射场的更高阶展开项。
    在通常情况下，这些高阶项因为包含加速度的时间导数，在非相对论极限下很小，被直接忽略。
    但在某些特殊条件下，比如当电荷加速度和磁场方向有特定的耦合关係时，高阶项中会分裂出一个与主分量偏振方向正交的分量。
    按江临的判断，这个所谓新分量对应的是辐射场张量在更高阶展开中出现的一个项，这个项与协变性相关，非平凡，而且在大多数標准教材的习题解答里都被忽略了。
    这是一个精微的细节。
    李教授显然在测试研究生是否能注意到这个细节。
    江临拿起笔，开始计算。
    没有用分量展开法。
    那样太慢了，而且容易漏项。
    他直接用辐射场张量的协变形式，將电荷的四维加速度和磁场张量耦合，然后对辐射场的偏振张量做本徵分解。
    推导过程涉及四维旋度运算和电磁场张量的对偶形式，每一步都需要仔细处理张量的指標。
    用了大约六分钟，他就写出了完整的结果。
    在辐射场的偏振张量中，除了与加速度方向对应的主分量外，还出现了一个与磁场方向和加速度方向都正交的次级分量，这个分量的强度正比於磁场强度与加速度大小的乘积。
    写完最后一个等號，江临放下笔，检查了一遍。
    没有问题。
    他举手。
    李华敏注意到了。
    从讲台上走下来，步伐很快，走到江临面前，拿起草稿纸，开始看。
    他看的方式和其他人不一样。
    不是从头到尾看推导过程，而是先看最后的结论，然后往回倒著看，检查关键步骤的合理性。
    这是经验丰富的学者的阅读方式，他们不需要一步一步跟著推导走，只看关键节点就能判断整个推导是否成立。
    他看了两分钟，然后抬头。
    “你这个分量，比我標准答案多了一项。”
    江临愣了一下。
    他对自己算的东西很確信。
    在废土上，他做过无数比这复杂得多的电磁场计算，涉及高密度等离子体中的非线性辐射修正，强磁场下的同步辐射偏振演化，甚至在某些极端条件下处理过辐射场的量子修正。
    他的张量运算几乎不会有错。
    这是废土世界打磨出来的肌肉记忆。
    但李教授说他多了一项。
    这就有点耐人寻味了。
    李华敏继续看那张草稿纸。
    他的目光在江临的推导步骤上来回扫了两遍，嘴唇微微动了一下，像是在心里重新演算。
    然后眉头皱了起来，沉吟道：“不，你没多算。”
    他的声音不大，但教室里太安静，所有人都听见了。
    “是我的標准答案漏了一项。”
    几个研究生抬起头来，看向这边。
    坐在江临旁边的一个女生，更是露出了惊讶与困惑的表情。
    李华敏看著江临，目光和刚才完全不同了。
    之前是审视，现在是一种带著评估意味的注视：“你怎么算出这一项的？”
    江临想了一下怎么解释。
    他实际用的是协变形式下的高阶展开，直接处理电磁场张量的四维形式，然后从中提取辐射场的偏振结构。
    稍一思索，他简化了自己的回答，说：“辐射场张量在高阶展开中有一项，对应的是电荷加速度和磁场方向的耦合，而不是单纯的电荷加速度。標准方法在做分量展开时，这一项因为需要同时考虑电场和磁场的混合张量结构，容易被漏掉。”
    李华敏听完，笑了笑。
    这是整节课李华敏第一次笑，还是发自內心的欣慰笑容。
    然后简单解释了一句：“他们在这道题上，一般只能算出主分量，我经验主义，就忘记在备课的时候加上这一项了。”
    说完他转身走回讲台，拿起粉笔，对全班说：“同学们，停一下。”
    凳所有人都抬起头。
    李华敏指了指江临的方向：“这道题实际上有两个分量，我之前的標准答案漏了一个，这位同学算出了完整的两个分量。我现在把正確的答案写在黑板上，你们记一下。”
    他开始在黑板上重新写完整的答案。
    第一项是標准的主分量，大多数研究生都算出的结果。
    第二项，就是江临算出的那个额外分量。
    李华敏用红色的粉笔单独框了出来，在下面画了两道横线。
    他一边写一边解释这个分量的物理来源。
    加速度与磁场的耦合导致的偏振旋转，在非相对论极限下很小，但在高能电荷或强磁场条件下会显著增强。
    研究生们全部抬头，有人拿起手机录像，有人快速记笔记。
    下课铃响的时候，李华敏正好写完最后一个公式。
    研究生们开始收拾东西，江临也合上了笔记本。
    但他还没站起来，李华敏已经走到了他面前。
    “你这种对细节的捕捉能力，很难得，別让它埋没了。”
    江临愣了一下。
    这话不是夸奖，比夸奖更重。
    夸奖是说你做得好，而李华敏说的是別让它埋没了。
    这句话的前提是，他已经承认了你拥有某种不常见的东西，而他在担心这种东西被浪费。
    江临站起来，发现自己的声音比预期的要轻：“谢谢老师。”
    李华敏点了下头，转身离开。
    江临站在座位旁边，低头看了一眼自己的草稿纸。
    那张纸上密密麻麻地写满了公式，在纸的右下角，他画了一个小圈，圈里写著一个简写的备註。
    【协变形式自动捕获交叉耦合——分量展开易漏】。
    他把草稿纸折好，夹进笔记本里，走出a401。
    外面的阳光很亮，照在物理楼的灰色外墙上，反射出一种温暖的色调。
    江临骑上自行车，风吹过来，他才发现自己的后背有一点潮。
    並非紧张，而是一种高度专注后的身体反应。
    在废土上他经常处於这种状態，但在现实世界里，他已经很久没有体会过了。
    4月22日，周五。
    量子场论入门。
    授课的许文清教授是江大物理学院最有声望的教授之一，约六十岁，是国內量子场论方向的资深学者，研究方向主要是重整化群和量子色动力学。
    他在国內场论界的影响力很大，当年从康奈尔大学博士后出站后回国，在江大一手建立起了场论研究方向。
    据陆老师所说，许教授讲课的特点是节奏极快，概念密度极高，对研究生也有相当的难度。
    “这门课你可能会觉得有挑战性。”
    根据课程表所示，这门课的前面几节讲的是正则量子化、自由场论和微扰展开，这些他都很熟。
    在废土上，他用场论方法处理过等离子体中的集体激发，用微扰论算过非线性响应函数，费曼图的计算他做过很多次。
    但今天的主题不一样。
    许教授看著比孙教授稍年轻一些，头髮花白但还保留著一些黑色，剪得很短。
    戴一副无框眼镜，穿一件浅灰色的衬衫，袖子卷到小臂中间，露出瘦而结实的前臂。
    他手里拿著一个不锈钢保温杯。
    走到讲台前，先拧开杯子喝了一口，看一眼讲义，这才慢悠悠地说道：“今天讲重整化群的基本概念。”
    语气很平淡，像是在说一件不太需要强调的事。
    但江临注意到，教室里好几个研究生同时坐直了身体。
    坐在他左前方的一个男生深吸一口气，翻开了面前那本厚得像砖头一样的教材。
    peskin & schroeder的《量子场论导论》。
    这本书在物理系研究生中间有一个公认的评价。
    前半本是场论教材，后半本是让人怀疑人生的东西。
    而重整化群，就在后半本。
    许教授直接从wilsonian重整化群的概念切入，讲动量空间的截断，讲高动量模式的积分，讲有效作用量的演化方程。
    一个概念他只解释一遍，然后立即进入下一个概念。
    不给思考的时间，或者说，他默认思考是学生在课下要做的事，课堂上的时间只用来传递信息。
    江临第一节课完全跟得上。
    wilson重整化群的核心思想他很清楚。
    在动量空间引入一个截断Λ，把高於截断的动量模式积分掉，得到一个低能有效理论，然后通过改变截断来观察耦合常数的演化。
    这个思路他在废土上研究等离子体的有效场论时接触过，虽然当时没有深入，但基本框架他是熟悉的。
    进入第二节课之，许文清开始讲β函数和不动点流形。
    β函数描述的是耦合常数隨能量尺度的演化。
    当截断从Λ降到Λ/b时，耦合常数的变化率就是β函数。
    物理上，β函数的零点对应著理论的不动点，耦合常数不隨尺度变化，系统处於標度不变的状態。
    这些概念江临能理解。
    但接下来，许文清讲到了callan-symanzik方程，描述关联函数在动量空间中的標度行为的基本方程，涉及重整化常数和反常维数的计算。
    然后是非微扰重整化。
    不是微扰展开，而是直接处理重整化群流的全局性质。
    到临界指数，在相变点附近，各种物理量隨约化温度变化的冪律行为的指数，和重整化群不动点的本徵值之间的关係。
    江临感觉自己回到了第一次接触量子力学的时候，开始吃力。
    不是完全听不懂。
    他听得懂大方向。
    β函数描述耦合常数的尺度演化，不动点对应临界现象中的標度不变性，重整化群在凝聚態物理和粒子物理中都有深远应用。
    这些物理图像他是清楚的。
    但具体的推导步骤，许文清用了一些他从未系统学过的技术。
    比如特定的截断方案下的有效场论构造。
    许教授在黑板上写了一个江临不熟悉的截断函数形式，然后从这个截断出发推导有效作用量的演化方程。
    比如多迴路展开的费曼图技术。
    许教授在推导β函数的双迴路修正时，快速地画出了一系列费曼图，並用维度正规化处理髮散，整个过程行云流水，但涉及到的计算技术对江临来说是全新的。
    比如非局域算符的重整化，在处理复合算符的反常维数时，许教授引入了一些江临没有见过的算符乘积展开的技巧。
    这些正是江临在第六次废土期间主动选择放弃的东西。
    统计场论与重整化群的具体內容。
    那时候他在等离子体物理方向上有更紧迫的问题要解决，儘管需要用到场论的框架但没有时间深入。
    结果是，场论的基本框架和微扰计算技术他学会了，但重整化群和多迴路展开的细节他跳过了。
    现在，这个缺口被许教授的课精准击中。
    迴旋鏢啊！
    江临低下头，开始记笔记。
    每当他听到一个自己没系统学过的概念，他就在笔记本上写下来，在旁边標註一个问號。
    【动量壳层积分——截断方案的选择——wilson vs 锋面截断？】
    【双迴路β函数——维度正规化——需要补充多迴路费曼图计算技术】
    【callan-symanzik方程——反常维数——和重整化常数z的关係】
    【非局域算符重整化——算符乘积展开——待查wilson原始论文】
    ……
    四点整，许文清合上讲义，说了一句：“今天的內容消化起来需要时间，不著急，慢慢看。”
    然后端著保温杯出了教室。
    研究生们开始收拾东西，有人在小声討论，语气里有明显的心有余悸。
    江临听到身后两个男生在说话，其中一个说：“许老师的课就是这样，第一遍听不懂是正常的，第三遍能听懂就算你厉害。”
    另一个回答：“我连笔记都没记全。”
    走出物理楼的时候，楼前的樱花已经在凋谢，白色和粉色铺了一地。
    江临在楼门口站了一会儿，看著那些花瓣被风吹起来又落下去。
    傍晚回到家的时候，母亲在厨房做饭。
    “回来了。”
    “妈，有什么需要帮忙的？”
    “没有，你今天又是蹭课去了？”
    “是啊。”
    “累不累？”
    江临想了一下：“今天有点累。”
    母亲愣了一下。
    她已经很久没听儿子说累了。
    晚上。
    江临坐在桌前，打开电脑，新建一个文档。
    【量子场论补充计划——第七次或更晚的废土】。
    【量子场论补充计划】
    【时间：第七次废土起开始执行，视具体废土时长决定深度】
    【目標：填补第六次废土期间主动放弃的统计场论与重整化群方向的系统训练】
    【教材选择：第一阶段：peskin & schroeder《an introduction to quantum field theory》——本科末期到研究生初期標准教材，重点章节1-10，涵盖正则量子化、微扰论、费曼图、量子电动力学单迴路修正。章节11-13为重整化群和临界现象入门，为重点攻克目標。】
    【第二阶段：weinberg《the quantum theory of fields》三卷——研究生进阶教材，第一卷建立场论的严格数学基础，第二卷深入处理重整化群和非阿贝尔规范理论，第三卷討论超对称。重点阅读第二卷中关於重整化群流和有效场论的部分。】
    【第三阶段：polchinski《string theory》两卷——研究生高阶教材，虽然以弦论为主线，但第一卷对重整化群和共形场论的討论极为透彻，是理解wilsonian重整化群的另一个视角。】
    【第四阶段：wilson的原始论文——重整化群的最初思路。kenneth wilson在1971-1974年间发表的两篇physical review b论文和一篇physics reports综述，是他获得1982年诺贝尔物理学奖的核心工作。这些原始论文中的物理直觉和推导路径是任何二手教材都无法替代的。】
    【优先级：重整化群（β函数、callan-symanzik方程的推导和应用、wilson流形和不动点的全局结构），多迴路展开的feynman图技术，非微扰重整化，临界现象与相变的標度律】