第89章 先天科研圣体

    磁性几何魔方。
    这题的题面非常漂亮，配图甚至颇有趣味。
    描述了一种可以通过磁性节点隨意拼接的多面体模块，要求求出在特定数量下，整个结构两端能达到的最大直线距离。
    很容易就让人误以为自己是在做一款益智玩具的拼图游戏。
    白板上，尹航已经画了十二种复杂的拼接形状。
    每一种构型都充满了机械美感，计算出的极端点距离列在一旁，姚思雨还在下面补了几个奇异的边界情况。
    很显然，两人已经在这道题里走得很深，走得很远，並不是不会做。
    问题是，走得太远，也走得太散。
    像是在一片没有尽头的森林里开了十二条路，却不知道哪一条才是生路。
    “我们现在最大的问题是构型太多了，如果纯靠穷举，我能枚举出一堆，但没法证明，我不知道有没有漏掉一种比现在更极端的诡异拼法。”
    尹航指著白板上那些密密麻麻的图形说，语气有些烦躁。
    姚思雨在旁边心有戚戚地点头：“通过刚才的计算，我其实能猜到答案大概落在哪个范围。但我的证明写得不乾净，总觉得如果阅卷人挑刺，隨便给出一个我没考虑到的拓扑结构，我的逻辑链就断了。”
    听两人解释罢，江临站到白板面前。
    先看那些复杂的构型图，再看旁边列出的距离表，最后，他的视线停留在尹航划掉的那几行试图用对称群来分类的推导上。
    尹航有一条路线，是想把旋转翻折之后等价的构型先並掉，用对称性减少枚举。
    方向很敏锐，但等价类並不等於上界。
    它只能减少要看的图，不能告诉你最远的端点一定在哪里。
    姚思雨走的另一条路线，是按模块之间的连接面面积来分类。
    也没有错。
    但分类一多，证明过程就会变成一个充斥著无数分类討论的泥潭，结果是自己也被绕进去了。
    江临从白板槽里拿起一根蓝色的马克笔，在白板最上方的一大块空白处，写了两个字。
    上界。
    尹航皱了皱眉。
    因为在他看来，这显然是一句废话。
    “我们当然知道要求上界，问题是这个上界你怎么抓，你怎么能保证一个统一的公式能罩住所有乱七八糟的拼法？”
    江临转过头，看著尹航，平静地说道：“你不知道怎么抓，是因为你们从一开始，就把这道题当成空间拼图在看。”
    此话一出，姚思雨猛地抬头，盯著江临。
    江临用手里的蓝色马克笔在白板上点了几个点，然后用线將它们连起来。
    一个连接图+有效位移的模型，取代了之前那些繁复的立体构型图。
    “几何不能丟。”他说，“但不能一开始就被几何图形牵著走。先把每个模块允许的连接位姿，压成有限几种有效位移，再把模块之间的连接关係抽成图。”
    说著，他在其中一条路径上画了一个箭头。
    “真正要抓的是任意合法拼接里，两个端点之间的欧氏距离，最多能从这些连接路径里榨出多少。”
    尹航皱眉：“所以不是枚举形状，而是先证明任何构型都不可能超过某条简单链的展开长度？”
    “对。”江临点头，“图给出路径结构，几何约束给出每一步最多能贡献的距离。两者合在一起，才是上界。”
    姚思雨盯著那条链状结构，顺著说道：“如果上界被这条链卡死，那我们只需要再构造一个具体拼法，证明它刚好能达到这个上界。”
    “对。”
    江临在链的旁边画出一个近似拉直到极限的极端构型。
    图画得瑞安潦草，但关键端点、连接面和相对朝向交代得一清二楚。
    “先用连接图和几何约束证明上界，再用极端构型给出取等构造。一拉一推，这题就闭合了。”
    “等一下。”
    尹航皱著眉头走近白板，用黑色马克笔在江临的构型旁边补了一条旋转虚线。
    “这里如果沿这条轴转一次，会不会利用空间对角线让端点更远？”
    江临扫了一眼，摇头说：“不会。”
    “为什么？”
    “因为这一步旋转只改变方向，不增加有效位移的模长。端点距离的投影已经被前面的连接约束卡住了。你能换坐標系里的朝向，但不能凭空增加那一节贡献的长度。”
    尹航还是有些心有不甘，又指向原来的海星状构型，说：“那这种非链状分支呢，两个分支端点之间会不会更长？”
    “分支端点之间的距离，必须经过公共连接节点分解。三角不等式先给自然上界：d(a，b)≤d(a，c)+d(c，b)d(a，b)le d(a，c)+d(c，b)d(a，b)≤d(a，c)+d(c，b)。关键是取等条件。在这道题的连接约束下，两条分支不能同时沿同一直线完全展开。你拉直一条，另一条的有效投影就会被折掉。”
    江临用笔在公共连接节点上点了两下。
    “所以分支结构最多逼近同等节数的链式上界，不可能超过它。”
    姚思雨听到这里，终於全部明白过来。
    立刻拿起笔，在自己的草稿纸上迅速补上了两行关键的图论转化。
    嘆道：“所以我们之前的枚举，就像是拿著相机，在给所有可能的雕塑疯狂拍照，试图找出一张看起来最高大的。”
    江临点点头，放下马克笔，说：“数学不需要我们拍完所有照片，只需要我们证明，最高的那张照片，它的天花板在哪里，然后证明有人能摸到那个天花板就行了。”
    尹航看著白板，沉默了足足有半分钟。
    最后，他拿起黑板擦，果断擦掉自己原先画的十二种构型和旁边那长长的距离表。
    然后在江临画出的连接图旁边打了一个勾。
    “行。”
    尹航的语气里的那种烦躁一扫而空。
    “这个上界，闭合了。”
    一直坐在窗边没参与进来的孟澈，此时默默地调整了一下坐姿。
    他没参赛，也不打算过度参与这道题的计算细节。
    但他从这段对话里，听出了熟悉的味道。
    江临刚才做的第一件事，是剥离。
    把形状，三维，磁性这些具有极强视觉干扰的物理外壳从问题里剥掉，然后换成图结构，节点和上界。
    这种处理问题的方式，太成熟了。
    像什么呢？
    孟澈看著江临削瘦的背影。
    它更像一个老练的实验物理学家，在面对极其复杂的系统误差时，先不急著调仪器，而是先建误差模型，把仪器误差、读数涨落和真实物理量一层一层地切分开。
    ……
    第二张题面，是拆盲盒。
    姚思雨嘆了口气，把自己的草稿纸推了过来。
    上面密密麻麻写了半页纸的公式。
    “这题我一开始按具体的集合状態写了递推。”
    並没有错，只是太重了。
    盲盒里有若干种不同卡片。
    每拿到一种新卡，拥有的集合状態就发生改变。
    如果按已经拥有的具体集合去写状態空间，状態数量会呈指数级增长，很快就会变成一个灾难性的马尔可夫链转移矩阵，根本没法算，更没法手写证明。
    “我也卡在这了。”
    尹航在旁边插话道。
    “我明明知道它在宏观上能压缩，因为全收集的期望最终肯定收敛，但就是找不到最乾净的压法。把每一步抽到什么卡的歷史都背在身上走，实在太蠢了。”
    江临看了一眼姚思雨的草稿纸，没有去改她的公式。
    直接在空白处写下一行字。
    还缺几种。
    姚思雨看著那四个字，怔了一下：“你一点都不关心当前手里具体缺的是哪几种卡？”
    “不关心。”
    江临回答得很乾脆。
    “题目的设定里，每一种盲盒被抽到的概率是均匀分布的，这意味著卡片本身是高度对称的。”
    江临用笔在盲盒两个字底下画了条线。
    “题目让你求的是集齐所有卡片所需时间的期望值，不是让你描绘收集过程中每一个具体集合长什么样。a，b，c和b，c，d在本质上是等价的。”
    尹航的眼睛瞬间亮起，猛地一拍大腿，叫道：“我靠，所以不用管具体卡，直接按数量阶段来分解？从缺k种卡，转移到缺k-1种卡？”
    “嗯。”江临点头。
    姚思雨低头，在纸上飞快地算了两步，之前的复杂矩阵被瞬间降维。
    “既然概率均匀，那在缺k种卡的状態下，抽到一张新卡的概率就是 p_k=k/n。所以在这个阶段停留的等待时间，就是一个参数为p_k的几何分布。而它的期望……”
    “几何分布的期望是概率的倒数。”江临接上了她的话，“所以这一阶段的期望步数就是n/k。”
    江临说到这里，看了一眼姚思雨因为激动而写得越来越快的笔尖，適时地浇了一盆。
    “不过在提交的时候还是不能直接从原题跳到这一步。”
    姚思雨停下笔，有些不明所以地抬头看他。
    “先花半页纸，严格说明为什么你的马尔可夫状態可以从2^n压缩到 n，也就是所谓的等价类划分。否则阅卷教授会觉得你在偷换概念，用一个简单的模型套一个复杂的题。”
    姚思雨认真地点头，准备继续往下写。
    写到一半，像是想到了什么反例，眉头皱了起来。
    “等等，如果不同盲盒的抽取概率不均匀呢？比如有隱藏款，概率只有1%，其他是10%，那这个数量状態压缩就不成立了，缺a和缺隱藏款的期望完全不一样。”
    “是的，所以你要在证明的开头，先浓墨重彩地写明对称性条件。题目给定的均匀抽取不是一句为了让题面好看的装饰语，我们进行状態压缩，真正要算的是n个阶段期望。”
    尹航听到这里，忍不住吐槽了一句：“你做题的时候，脑子里还一直想著阅卷人啊？”
    “想著覆核。”江临认为自己应该纠正他的用词。
    “数学竞赛也叫覆核？”
    “只要是需要人去验证的逻辑链，就叫覆核。”江临看著尹航，“证明写出来，就是给別人覆核的。如果你的解答只有你自己懂，那不叫数学证明，那叫私人日记。”
    一旁的孟澈听得是直点头。
    覆核这个词，他太熟了。
    老板在组会上不知道骂过他们多少次类似的话。
    “科研不是你自己觉得数据好看就行。你要把你的实验条件，你的误差分析，你的数据处理流程清清楚楚地写在paper里，让大洋彼岸另一个素不相识的同行，能在他自己的实验室里，在合理的时间內把你的结果覆核出来。不能覆核的东西，就是偽科学。”
    数学竞赛显然也是一样的逻辑。
    会做，只是第一步，最多算自己通过了。
    能写成让挑剔的评审在有限时间內稳定覆核的证明，才算真正完成。
    已经想通透了的姚思雨，把草稿纸上那一大片旧的递推公式用力划掉，长舒了一口气，整个人都放鬆了下来。
    “太好了，这样就乾净多了。我之前的问题是歷史包袱太重，跟背著一座山似的。”
    江临点点头：“状態里当然只需保留影响未来的最小信息，因为多一丝都是累赘。”
    “这不就是最小充分状態嘛。”尹航喃喃自语。
    最小充分状態？
    一旁笑眯眯的孟澈忽然捕捉到了关键词。
    先找状態，再找边界。
    最后判断，哪些信息是必须保留的承重墙，哪些信息只是花里胡哨的壁纸和噪声。
    这是一种拆解世间一切复杂系统的底层方法论。
    不是一个能在单纯的数学竞赛题集里学到的漂亮说法。
    可比会做题的天才厉害多了。
    联想到这位才读高三的小师弟，一出山就帮大家解决了数据漂移的问题。
    孟澈脑子里冒出一个不太严肃的念头。
    这不就是先天科研圣体吗？