第53章 刚才我算到哪来了

    第二道题是几何题，关於圆內接四边形的性质。
    陈末没有使用解析几何建系，以他现在的属性，几乎一眼就看出了这道题的本质。
    在数学直觉和洞察力的双重加持下，他只用了五分钟，就通过几何的方式给出了证明。
    然后是第三道题。
    陈末翻开试卷最后一页，看到题目时，眉头微微皱起。
    【题3】设n是大於1的整数。定义
    （1）证明：当n为奇数时，f(n)=2^?φ(n)。
    （2）设p是奇素数，证明：
    （3）利用上述结果，证明：对於任意正整数n>1，有f(n)=√n/2^φ(n)?μ(n)
    其中μ(n)是莫比乌斯函数，並討论μ(n)取值为0，±1的情况与f(n)的关係。
    果然，一试的题目简单，二试的题目必定会上难度，尤其是这第三题，跟之前做过的题已经几乎不是一个档次的题目了。
    这道数论的题目，考的知识点极深，即便是普通数学系的大学生来，恐怕也不一定能做得出来。
    在陈末前方不远处，林知远兴奋的搓了搓手，作为一个去年就拿到过cmo金牌的选手，前面做的那些题都让他很不过癮。
    因为这些题他会做，其他人也会做。
    但看到这道题，他终於开心的笑了，他知道，重头戏终於来了，省赛应该就是通过这道题来筛选进入冬令营的名额。
    反覆读了好几次题目，林知远才开始在草稿纸上推导，
    第一问还算比较简单，只需要利用復根法，考虑 x^{2n}-1=0的根w_k=e^{πik/n}，则sin(kπ/2n)=iwk?1i/2，然后通过分解 x^{2n}-1=(x^n-1)(x^n+1)，提取与gcd(k，n)=1对应的因子，就能得到f(n)=2^?φ(n)。
    花了二十多分钟，做完第一问，林知远只觉得神清气爽，挺直了腰背，在原地得意了好一会儿，这才看向第二小问。
    这一次，他思考了一会儿，然后开始动笔，利用x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+……+ 1)，令x=1得到p=n_{k=1}^{p?1}i1?e^{2πik/p}i，只需要將这个式子换成正弦表示，就能得到第二问的结果。
    做完这道题，林知远额头上已经冒出了几滴细密的汗珠，就连他也感到有些吃力了。
    “看得出来，今年这题还真是北大的老师出的!”
    林知远在心中腹誹，这难度，跟他去年做的完全不一样了，如果不是去年经过cmo的磨礪，又多学习了一年，他恐怕也会在这道题上栽跟头。
    他下意识的往回看了眼，可惜他的位置因为角度问题，看不到后方的陈末和邱明远，他也不好做得太过分，否则被监考老师认为是作弊，那可就没地说理了。
    但他不用看也知道，那两个傢伙必定也被这道题困住了。
    没有耽搁时间，他看向了第三小问。
    经过一番推导后，林知远很快来了灵感。
    “只需要利用容斥原理，將f(n)写成f(n)=n_ding(d)^μ(d)的形式，g(d)是某个已知乘积，然后代入计算……”
    嘴里念念有词，林知远眼睛越来越亮，双手运行如飞，在草稿纸上写下一行又一行的推导过程。
    哗哗哗……
    一连写了好几张草稿纸，林知远还没能算出结果，这个证明过程需要大量代数运算和分类討论。
    林知远额头已经开始冒出豆大的汗珠，但他彻底沉浸在了其中，做得酣畅淋漓。
    这一刻他根本没有任何爭胜的念头，没有任何其他的念头，只有眼前这道题!
    同一考室中，其他同学看向林知远的方向，暗暗心惊，“不愧是学霸，竟然文思泉涌。”
    他们看著题目脑子里却是一片空白，根本没有半点思路。
    好绝望。
    另一边，陈末也正在运笔如飞的推导第三小问的证明过程。
    如果这是学校的考核，此时他或许已经放弃了推导，因为他觉得这道题的难度已经超过了他所学的知识点，所以才会有如此复杂的推导过程。
    数学，不应该如此复杂才对。
    根据陈末这些天对数学的了解，他觉得，数学应该是简洁优雅的存在。
    如果某个结论过於繁琐复杂，那么一定是得出这个结论的人没有找到正確的方法。
    他的直觉一直告诉他，快停下来，不应该是这样的。
    但这是省赛，所以他决定推导试试看。
    再次推导了一会儿，陈末忽然停笔，在推导过程中，他忽然发现，如果把f(n)写成f(n)=1/2φ(n)n_{1≤k≤ngcd(k，n)=1}i1?e^{πik/n}i，那么就可以引入特徵和。
    设x是模n的dirichlet特徵，定义高斯和g(x)=∑_{k=1}^nx(k)e^{πik/n}。
    然后经过一系列推导，就能得到一个恆等式，对於任意正整数m，x_m是模m的某个特徵，则∑^mx_m(k)e^{πik/m}=√m?(某个值为±1或0的因子).
    最后验证小n的情况，就能得到，这个求和实际上等於μ(n)?√n。
    这样根本就不用去进行大量繁琐的代数运算和分类討论，就能完成最后一小问的证明。
    看了看时间，还剩一个半小时。
    想到周老师的嘱咐，陈末再次埋头，又仔细的检查了一遍三道题目。
    十分钟过去，陈末再次抬起头。
    没什么问题。
    於是，他收拾好文具，起身往教室外走去。
    如果是其他时候，他或许也不会如此草率，上午他也没有提前交卷，但现在不一样，他激发的【头脑清晰】效果还在。
    这是一次性的增益，还剩一个多小时，要是就在考室里干坐著，那也太浪费了，他决定先回去学习。
    “誒，同学……”
    监考老师还准备询问一番，但看到那张写得满满的试卷，他选择了闭嘴。
    同一个考室的考生们却睁大了眼睛。
    “我还在做第二道大题，他就交卷了？”
    “难道这次的题很简单，是自己做的方法不对？”
    不少同学心头有些慌神，一时间心慌意乱，都没办法集中注意力做题。
    “省赛还耍帅？”
    “真是太儿戏了！”
    也有一些同学认为陈末只是在装，这次的题目他们正在做，怎么会不知道难度，不要说一个小时，就算是两个半小时，也不一定能做得完。
    林知远和邱明远也都抬头，两人眼中满是迷惑。
    经过这两天的接触，他们知道陈末不是一个高调的人，他们也认可陈末的实力，认为陈末不可能做不出来第三道大题。
    所以，他这就做完了?
    怎么会这么快？
    以这道题的计算量，没有一个小时根本搞不定，这傢伙怎么就提前交卷了？
    难道他放弃了？
    林知远心中不断猜测，但他还是摇了摇头，他不认为陈末是不会做放弃了。
    那么，就只有一种可能，陈末真的做完了。
    林知远如临大敌，感觉到了一丝压力。
    他再次收回注意力，回到草稿纸上。
    下一秒，林知远心態差点爆炸。
    “艹，刚才我算到哪来了？”
    “陈末误我啊！”