第3章 代数知识

    由於罗伦的解答过程，清晰明了，威尔与金髮青年只是粗略一扫，脸上就不约而同地露出了惊讶之色。
    令x=a-2/a，这是什么操作？
    从未见过此等做法的两人，有些不明所以，但根据这个思路看下去，又会发现，解答链条环环相扣，一步一个脚印，竟就这么轻而易举地將这个一元五次方程解了出来。
    威尔眼里透出一抹喜色，以掌拍桌，赞道：“妙，妙啊，令x=a-2/a进行换元计算，直接就把所有不需要的项数都给抵消了！”
    四周围观的人听闻此言，都伸长了脖子，面露好奇之色。
    听威尔先生的意思，这道题被解出来了吗？
    但那个看起来很陌生的青年，从正式开始答题到答完题，前后也就只有三分钟的时间吧。
    如此快的吗？
    这傢伙到底是何方神圣啊？！
    “確实妙，一种无比精巧的构思，只是……”
    金髮青年此刻也跟著赞了一声，但他却皱起了眉，扭头盯著罗伦，不解道：
    “这位先生，我有点困惑，为什么你直接就能注意到令x=a-2/a，这道题就有解了？我很好奇你是怎么注意到的，是巧合吗？”
    “不是巧合。”罗伦摇了摇头。
    “那就是有技巧的了？”金髮青年追问道。
    罗伦頷首答道：“確实是有技巧的。”
    金髮青年眼前微微一亮，赶忙道：“那你能讲解下这个技巧吗？”
    说完这话，他意识到有些不妥，因为知识在这个世界，本来就是有价的，尤其是那些涉及到全新思路的数学知识，有的更是具有超凡价值，空口白牙就问人要数学技巧，是一种极其不礼貌的行为。
    於是，金髮青年又连忙补充道：“可以付费的，5金镑，你讲解下这个技巧，如何？”
    臥了个大槽！
    一上来就出价5金镑，你这么有钱的吗？
    罗伦眉毛微微一挑，惊讶地望著金髮青年，一时陷入了沉默之中，並开始反思自己。
    这个世界的数学知识，似乎比我想像中的要值钱很多啊！
    “哎哎，爱德华你怎么能乱许诺给人钱的，我最近手头比较拮据，你別给我添乱……”
    威尔见金髮青年许诺付费，还一开口就是5金镑，嚇了一跳，赶忙出言想阻止。
    但不等他將话说完，金髮青年爱德华就打断了他，笑道：
    “放心吧威尔先生，关於最前面的这个技巧，我来付费就行了，不用你出钱。”
    说话间，爱德华已然从怀中摸出了一张面值5元的金镑纸幣，而后將之拍到了摊位的桌面上。
    爱德华看向罗伦：“这位先生，钱就在这里，只要你能將那个技巧告诉我，这5金镑就是你的了。当然，你也得保证那个技巧货真价实，而不是虚假无用的。”
    罗伦扫了眼那5金镑的纸幣，嘴角浮出一抹微笑：“是否有用，你听我讲完就知道了。”
    人家付费想听知识，出价还挺大方，罗伦也不矫情，更没有什么待价而沽的心思。
    他拿起桌上的那支写字笔，扯过一张乾净的空白纸张，边写边讲：
    “遇到这种有解的一元五次方程，第一时间不要去想其他的东西，一定要用换元变换，因为只有换元，才能通过某种对称变换，使其降次，达到构造预解式，並最终获得根式解的目的……”
    “所以，解这类题的技巧，就在於构造一个对称性的结构。”
    “而在我们常见的具有对称性的代数式当中，有ab，a+b，a^2+b^2，以及a与b/a，(a+b)(a-b)……类似的结构非常之多，我就不一一列举了。”
    爱德华看到这里，眼前一亮：“將代数方程与对称性联繫起来，这种思路，还真是特殊啊，以前从未听人讲过……”
    罗伦所讲的这些，虽然都没有超出初等代数的范畴，但其核心思想，却是群论的雏形。
    譬如『通过某种对称变换，使其降次，达到构造预解式的目的』，用初等代数的话来说，便是消去中间冪次，使得方程的根式解显形。
    而若用抽象代数的话来表述，便是在寻找一个有理函数，即某个子域的生成元，然后使得该子域的伽罗瓦群是循环群。
    对於没接触过群论思想的人而言，会觉得这种思路非常新奇。
    当然，也可能是左耳进右耳出，直接一脸懵逼。
    罗伦继续边写边讲：
    “现在，我们观察原方程，x^5+10x^3+20x-4=0，移项变换后是x^5+10x^3+20x=4。”
    “若將以上的对称结构换元代入方程之中，可以明显发现，除了a与b/a之外，其他的结构，都不能简化方程，反而会让方程变得越来越复杂。”
    “而a与b/a，有a+b/a和a-b/a两种，但这里我们直接用a-b/a……”
    话到这里，威尔突然打断了罗伦，疑惑道：“为什么要选a-b/a，a+b/a不行吗？”
    罗伦微笑道：“当然不行，若把a与b/a分別看成函数，那么a是单调递增函数，b/a则是单调递减函数，它们相加之后就不具有对称美了，所以只能相减。”
    事实上，这里更直观的解释，乃是x(a)=a-b/a满足反射对称。
    即將a替换成-b/a之后，x的值不变，这在抽象代数中，意味著映射a到-b/a是函数x(a)的一个对称变换，其群作用为z2对合。
    威尔恍然大悟：“还真是这样。”
    罗伦继续讲道：
    “所以，这里我们可以直接令x=a-b/a，其中b是一个常数，这时候便需要確定b的值……换元代入进去后，通过二项式展开化简，可以发现，若令a^3和a项係数为零，可得出b的值，即b=2。”
    至此，为什么要令x=a-2/a，罗伦已然通过初等代数的视角全部讲完。
    虽然涉及到了一些群论的思想与思路，但总体来说，他所讲的內容依旧严格限定在了『高中阶段』，还是非常通俗易懂的。
    “厉害厉害，新奇的思路与构想，感觉以后再遇到类似的解方程问题，都可以通过令x=a-b/a的方法来快速换元解决了。”
    此时此刻，爱德华忍不住拍手讚嘆了一声。
    只觉自己的脑子有种奇特的通透感。
    他看向罗伦，眼中充满了浓郁的好奇之色，笑著道：“这位先生，你看起来太陌生了，以前从未在学识大厅见过你，我叫爱德华，不知你怎么称呼？”
    “罗伦，我今日是第一次来学识大厅。”
    “原来是罗伦先生。”爱德华拿起桌上那一张面值5元的金镑，递给罗伦：“来，罗伦先生，这是你应得的报酬，感谢你刚才的解惑。”
    “还有我的，给，我本以为，要在这里守上好些时日，这道题才能完成解答的，不曾想，竟是如此快就解出来了……”
    威尔也赶忙从怀中掏出6金镑来，笑呵呵地交给罗伦，而后问道：
    “对了，不知罗伦先生你在哪里高就啊？听你的口音，不像是银霜城本地人，难道是近期刚来的银霜城？”
    罗伦也不客气，乐滋滋接过二人递来的11金镑报酬，小心翼翼叠好揣进怀中后，这才道：
    “对，我老家在绿松州雾森市，半年多前来的银霜城，至於高就……”
    罗伦笑了笑，坦诚道：“不怕诸位笑话，我目前还处於无业状態，前段时间求职还被拒了，囊中羞涩之下，又听人说学识大厅可以交易知识，这才在今日来此地碰碰运气。”
    威尔道：“这很正常，银霜城的某些工作，弯弯绕绕太多，外来者若无人引荐，確实很难竞爭得过他人，不过，以罗伦先生你的代数水平，倒也不必循规蹈矩去求职……”
    他说著，指了指金髮青年爱德华：“正巧爱德华就在聘请数学陪教，他现在对你肯定很感兴趣。”
    爱德华闻言立刻接过话茬，也不卖什么关子，直言就道：
    “不错，我家里目前堆了十几道诞生自梦维度的数学难题，正愁著没有数学高手一起帮忙破解呢，如果罗伦先生你感兴趣的话，可以来我这试试，月薪或许不会太高，也就30金镑，不过……”
    说著，他迟疑了下，稍作思量后又道：
    “不过，若能完整解答出一道题，或在解题过程中做出了重要贡献，我將额外再每题支付10金镑的报酬。”